Темы исследовательских работ на странице 127, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Цепные дроби.
План доклада:
1. Что такое цепная дробь.
2. Алгоритм Евклида и выделение целой части.
3. Подходящие дроби.
4. Бесконечные цепные дроби.
5. Из истории цепных дробей.
Презентация к докладу: «Цепные дроби», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Что такое цепная дробь. При целом \(a_0\) и натуральных \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), … цепной, или непрерывной, дробью называют выражение \[a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \ldots}}}.\] Числа \(a_0\), \(a_1\), \(a_2\), … — неполные частные. Конечную цепную дробь вычисляют снизу вверх: \[2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{2}}} = 2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{2}{9}} = 2 + \frac{9}{29} = \frac{67}{29}.\]
2. Алгоритм Евклида и выделение целой части. Рациональное число записывают цепной дробью, выделяя целую часть, затем целую часть числа, обратного дробной части, и так далее: \[\begin{aligned} \frac{67}{29} &= 2 + \frac{9}{29}; \\ \frac{29}{9} &= 3 + \frac{2}{9}; \\ \frac{9}{2} &= 4 + \frac{1}{2}. \end{aligned}\] Это алгоритм Евклида для чисел 67 и 29. Его остатки — убывающие неотрицательные целые числа, поэтому любое рациональное число записывается конечной цепной дробью. Так же раскладывают рациональную дробь, только неполные частные — многочлены: \[\frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1} = x + \frac{x}{x^2 + 1} = x + \cfrac{1}{x + \cfrac{1}{x}}.\]
3. Подходящие дроби. Оборвав цепную дробь на \(a_k\), получают подходящую дробь \(\frac{P_k}{Q_k}\); у числа \(\frac{67}{29}\) это \(2\), \(\frac{7}{3}\), \(\frac{30}{13}\) и \(\frac{67}{29}\). Число \(P_kQ_{k - 1} - P_{k - 1}Q_k\) всегда равно 1 или \(-1\): \(7 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = 1\), \(30 \cdot 3 - 7 \cdot 13 = -1\). Отсюда подходящие дроби несократимы, а разность соседних равна \(\frac{1}{Q_kQ_{k - 1}}\) или \(-\frac{1}{Q_kQ_{k - 1}}\), поэтому они по очереди меньше и больше числа и с каждым шагом ближе к нему: \(2 < \frac{30}{13} < \frac{67}{29} < \frac{7}{3}\).
4. Бесконечные цепные дроби. У иррационального числа выделение целой части не оборвётся, иначе число было бы рациональным. Для числа \(\sqrt{2}\): \(\sqrt{2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}\), так как \((\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = 2 - 1 = 1\), и \(\sqrt{2} + 1 = 2 + (\sqrt{2} - 1)\) — шаг повторяется без конца: \[\sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ldots}}}.\] Подходящие дроби \(\frac{3}{2}\), \(\frac{7}{5}\), \(\frac{17}{12}\), …, \(\frac{99}{70}\) быстро приближаются к \(\sqrt{2}\): \(99^2 = 9801\), а \(2 \cdot 70^2 = 9800\). У числа \(\pi\) первые неполные частные — 3, 7, 15, 1, 292 (известный факт), а подходящие дроби \(\frac{22}{7}\) (верхняя оценка Архимеда) и \(\frac{355}{113}\) (Цзу Чунчжи, V век) — знаменитые приближения.
5. Из истории цепных дробей. Бомбелли (1572) приближал цепными дробями квадратные корни, Гюйгенс подбирал подходящими дробями числа зубцов шестерён планетария, общую теорию построил Эйлер (1737). Год длится примерно \(365{,}2422\) суток; подходящие дроби числа \(0{,}2422\) — \(\frac{1}{4}\), \(\frac{7}{29}\), \(\frac{8}{33}\), … Дробь \(\frac{1}{4}\) — юлианский календарь (один високосный год из четырёх), \(\frac{8}{33}\) — 8 високосных лет на 33 года, намного точнее.
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что цепная дробь записывает число последовательностью неполных частных, которые находят повторным выделением целой части. Для рационального числа это алгоритм Евклида, и цепная дробь конечна; иррациональное число записывается бесконечной цепной дробью: у \(\sqrt{2}\) неполные частные повторяются, а у \(\pi\) закономерность в них неизвестна. Подходящие дроби несократимы, по очереди меньше и больше числа и с каждым шагом приближаются к нему, поэтому дают точные приближения дробями с небольшими знаменателями: \(\frac{99}{70}\) для \(\sqrt{2}\), \(\frac{355}{113}\) для \(\pi\). Такие приближения нужны везде, где отношение величин надо заменить отношением небольших целых чисел, — от зубчатых передач до календарей.
Цепные дроби.
План доклада:
1. Что такое цепная дробь.
2. Алгоритм Евклида и выделение целой части.
3. Подходящие дроби.
4. Бесконечные цепные дроби.
5. Из истории цепных дробей.
Презентация к докладу: «Цепные дроби», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. Что такое цепная дробь. Пусть число \(a_0\) — целое, а числа \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), … — натуральные. Цепной, или непрерывной, дробью называют выражение \[a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \ldots}}}.\] Числа \(a_0\), \(a_1\), \(a_2\), … называют неполными частными. Цепная дробь бывает конечной — она обрывается на некотором неполном частном — и бесконечной. Конечную цепную дробь вычисляют снизу вверх: \[2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{2}}} = 2 + \cfrac{1}{3 + \cfrac{2}{9}} = 2 + \frac{9}{29} = \frac{67}{29}.\] Неполные частные этой цепной дроби — 2, 3, 4, 2.
2. Алгоритм Евклида и выделение целой части. Чтобы записать рациональное число цепной дробью, выделяют его целую часть, затем целую часть числа, обратного дробной части, и так далее: \[\begin{aligned} \frac{67}{29} &= 2 + \frac{9}{29}; \\ \frac{29}{9} &= 3 + \frac{2}{9}; \\ \frac{9}{2} &= 4 + \frac{1}{2}. \end{aligned}\] Это алгоритм Евклида для чисел 67 и 29: \(67 = 2 \cdot 29 + 9\), \(29 = 3 \cdot 9 + 2\), \(9 = 4 \cdot 2 + 1\), \(2 = 2 \cdot 1\). Неполные частные цепной дроби — это неполные частные алгоритма, а последний ненулевой остаток 1 — наибольший общий делитель чисел 67 и 29. Остатки — неотрицательные целые числа, и каждый следующий меньше предыдущего, поэтому рано или поздно остаток станет равен нулю: любое рациональное число записывается конечной цепной дробью. Так же раскладывают в цепную дробь и рациональную дробь, только неполными частными служат многочлены. Например, \(x^3 + 2x = x(x^2 + 1) + x\) и \(\frac{x^2 + 1}{x} = x + \frac{1}{x}\), поэтому \[\frac{x^3 + 2x}{x^2 + 1} = x + \frac{x}{x^2 + 1} = x + \cfrac{1}{x + \cfrac{1}{x}}.\]
3. Подходящие дроби. Если оборвать цепную дробь на неполном частном \(a_k\), получится подходящая дробь \(\frac{P_k}{Q_k}\); нумерацию ведут с нуля, \(\frac{P_0}{Q_0} = \frac{a_0}{1}\). Подходящие дроби числа \(\frac{67}{29}\) — \(2\), \(\frac{7}{3}\), \(\frac{30}{13}\) и \(\frac{67}{29}\). Начиная с номера 2, их числители и знаменатели находят по правилу \(P_k = a_kP_{k - 1} + P_{k - 2}\), \(Q_k = a_kQ_{k - 1} + Q_{k - 2}\): \(P_2 = 4 \cdot 7 + 2 = 30\), \(Q_2 = 4 \cdot 3 + 1 = 13\), \(P_3 = 2 \cdot 30 + 7 = 67\), \(Q_3 = 2 \cdot 13 + 3 = 29\). Из этого правила следует, что число \(P_kQ_{k - 1} - P_{k - 1}Q_k\) при переходе к следующей паре соседних подходящих дробей только меняет знак, а для первой пары оно равно \(P_1Q_0 - P_0Q_1 = (a_0a_1 + 1) - a_0a_1 = 1\). Значит, оно всегда равно 1 или \(-1\): \(7 \cdot 1 - 2 \cdot 3 = 1\), \(30 \cdot 3 - 7 \cdot 13 = -1\), \(67 \cdot 13 - 30 \cdot 29 = 1\). Отсюда два следствия. Каждая подходящая дробь несократима: общий делитель чисел \(P_k\) и \(Q_k\) делит и число \(P_kQ_{k - 1} - P_{k - 1}Q_k\), равное 1 или \(-1\). Разность соседних подходящих дробей равна \(\frac{1}{Q_kQ_{k - 1}}\) или \(-\frac{1}{Q_kQ_{k - 1}}\), поэтому подходящие дроби по очереди меньше и больше числа и с каждым шагом ближе к нему: дроби с чётными номерами 0 и 2 меньше \(\frac{67}{29}\), а дробь с номером 1 больше, \(2 < \frac{30}{13} < \frac{67}{29} < \frac{7}{3}\).
4. Бесконечные цепные дроби. Если число иррационально, выделение целой части никогда не оборвётся: иначе число записывалось бы конечной цепной дробью, то есть было бы рациональным. У числа \(\sqrt{2}\) целая часть равна 1, а \(\sqrt{2} - 1 = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}\), так как \((\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = 2 - 1 = 1\). Далее \(\sqrt{2} + 1 = 2 + (\sqrt{2} - 1)\), и шаг повторяется без конца: \[\sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ldots}}}.\] Подходящие дроби \(\frac{3}{2}\), \(\frac{7}{5}\), \(\frac{17}{12}\), \(\frac{41}{29}\), \(\frac{99}{70}\) быстро приближаются к \(\sqrt{2}\): \(99^2 = 9801\), а \(2 \cdot 70^2 = 9800\). Неполные частные числа \(\sqrt{2}\) повторяются; Лагранж в 1770 году доказал, что цепная дробь любого иррационального корня квадратного уравнения с целыми коэффициентами с некоторого места периодична (известный факт). У числа \(\pi\) первые неполные частные — 3, 7, 15, 1, 292 (известный факт). Его подходящие дроби \(\frac{22}{7}\) и \(\frac{355}{113}\) — знаменитые приближения: первое совпадает с верхней оценкой Архимеда, полученной не цепной дробью, а с помощью многоугольников, второе нашёл в V веке китайский математик Цзу Чунчжи; оно отличается от \(\pi\) меньше чем на \(0{,}000\,001\).
5. Из истории цепных дробей. В Европе цепные дроби начали применять в XVI—XVII веках: Рафаэль Бомбелли (1572) и Пьетро Катальди (1613) приближали с их помощью квадратные корни, а название «непрерывная дробь» ввёл Джон Валлис. Христиан Гюйгенс, конструируя механическую модель Солнечной системы — планетарий, подбирал с помощью подходящих дробей числа зубцов шестерён: отношение периодов обращения планет нужно было приблизить отношением небольших целых чисел. Общую теорию цепных дробей построил Леонард Эйлер (1737). Тот же приём помогает понять правила календарей. Год длится примерно \(365{,}2422\) суток, а подходящие дроби для числа \(0{,}2422\) — \(\frac{1}{4}\), \(\frac{7}{29}\), \(\frac{8}{33}\), … Дробь \(\frac{1}{4}\) — правило юлианского календаря: один високосный год из четырёх; дробь \(\frac{8}{33}\) означает 8 високосных лет на каждые 33 года и намного точнее.
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что цепная дробь записывает число последовательностью неполных частных, которые находят повторным выделением целой части. Для рационального числа это алгоритм Евклида, и цепная дробь конечна; иррациональное число записывается бесконечной цепной дробью: у \(\sqrt{2}\) неполные частные повторяются, а у \(\pi\) закономерность в них неизвестна. Подходящие дроби несократимы, по очереди меньше и больше числа и с каждым шагом приближаются к нему, поэтому дают точные приближения дробями с небольшими знаменателями: \(\frac{99}{70}\) для \(\sqrt{2}\), \(\frac{355}{113}\) для \(\pi\). Такие приближения нужны везде, где отношение величин надо заменить отношением небольших целых чисел, — от зубчатых передач до календарей.
