Темы исследовательских работ на странице 127, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

План доклада:
1. Ньютон и «Всеобщая арифметика».
2. Алгебра — всеобщая арифметика.
3. Число как отношение к единице.
4. Дробь — частное, записанное чертой.
5. Действия с буквенными дробями.

Презентация к докладу: «Понятия дроби и алгебраической дроби в книге И. Ньютона „Всеобщая арифметика“», 7 слайдов (.pptx)

Основное содержание.

1. Ньютон и «Всеобщая арифметика». Исаак Ньютон (1643—1727) — английский математик и физик; по старому стилю, действовавшему тогда в Англии, он родился 25 декабря 1642 года. С 1669 года он был профессором Кембриджского университета и читал там лекции, в том числе по алгебре. По записям этих лекций в 1707 году на латинском языке вышла книга «Всеобщая арифметика» (Arithmetica Universalis); издал её Уильям Уистон, преемник Ньютона по кафедре. В 1720 году появился английский перевод, в 1722 году — второе издание, а в XX веке книгу перевели на русский язык. Её не следует путать с главным трудом Ньютона по механике — «Математическими началами натуральной философии» (1687).

2. Алгебра — всеобщая арифметика. Книга открывается мыслью, отражённой в её названии: вычисления ведут либо с числами, как в обычной арифметике, либо с буквами, как у алгебраистов, и в обоих случаях действуют одни и те же правила. Арифметика решает задачу для определённых чисел, алгебра — сразу для всех. Например, равенство \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + cb}{bd}\) при \(b \neq 0\) и \(d \neq 0\) — одно правило для всех дробей, а вычисление \(\frac{2}{3} + \frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1 \cdot 3}{3 \cdot 5} = \frac{13}{15}\) — его частный случай при \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = 5\). Поэтому результат, полученный в буквах, верен для любых чисел, которые можно подставить вместо букв.

3. Число как отношение к единице. Определение числа у Ньютона в русском переводе звучит так: «Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлечённое отношение какой-нибудь величины к другой величине того же рода, принятой нами за единицу». Числа бывают трёх видов: целые — величина измеряется единицей; дробные — величина измеряется долей единицы, то есть равна кратному этой доли; иррациональные — величина несоизмерима с единицей (Ньютон называет такое число латинским словом surdus — «глухое»). Например, если за единицу принят отрезок длиной 4 см, то отрезок длиной 3 см выражается числом \(\frac{3}{4}\): он содержит три четверти единицы. Диагональ квадрата, сторона которого принята за единицу, выражается иррациональным числом \(\sqrt{2}\). Значит, дробь у Ньютона — такое же число, как и целое: отношение величины к единице.

4. Дробь — частное, записанное чертой. Деление Ньютон записывает так же, как мы: делимое над делителем, между ними черта; такое частное он называет дробью. Запись одинакова для чисел и для букв: \(\frac{a}{b}\) — величина, которая получается при делении \(a\) на \(b\), а числитель и знаменатель могут быть и многочленами, например \(\frac{a^2 - b^2}{a + b}\). Отдельного определения алгебраической дроби Ньютону не нужно: это та же дробь, только с буквенными числителем и знаменателем. Дробную черту Ньютон не придумал: ею пользовались задолго до него, например Леонардо Пизанский (Фибоначчи) в «Книге абака» (1202). В современном определении рациональной дроби явно сказано то, что при делении подразумевается: знаменатель — ненулевой многочлен, а значения букв, при которых он обращается в нуль, недопустимы. Например, дробь \(\frac{a^2 - b^2}{a + b}\) имеет смысл только при \(b \neq -a\).

5. Действия с буквенными дробями. Действия с буквенными дробями Ньютон выполняет по тем же правилам, что и с числовыми: для сложения и вычитания дроби приводят к общему знаменателю, при умножении перемножают числители и знаменатели, при делении числитель делимого умножают на знаменатель делителя, а знаменатель делимого — на числитель делителя; сокращают дробь, деля числитель и знаменатель на их общий делитель. Сравним вычисления с числами и с буквами:

- сокращение: \(\frac{12}{18} = \frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{2}{3}\) и \(\frac{a^2 - b^2}{a^2 + ab} = \frac{(a - b)(a + b)}{a(a + b)} = \frac{a - b}{a}\);
- деление: \(\frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{3}{2}\) и \(\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}\).

Отличие одно: числовая дробь сразу даёт число, а буквенная — выражение, значение которого зависит от букв. Поэтому у буквенных дробей надо следить, чтобы знаменатели, а при делении и числитель делителя, не обращались в нуль, и помнить, что после сокращения множество допустимых значений может измениться: дробь \(\frac{a^2 - b^2}{a^2 + ab}\) при \(b = -a\) смысла не имеет, а дробь \(\frac{a - b}{a}\) при \(a \neq 0\) имеет его всегда.

Резюме: Таким образом, во «Всеобщей арифметике», изданной в 1707 году по кембриджским лекциям Ньютона, алгебра понимается как арифметика, которая ведётся сразу для всех чисел с помощью букв. Число Ньютон определяет как отношение величины к единице того же рода и делит числа на целые, дробные и иррациональные; дробь для него — частное, записанное чертой, одинаково для чисел и для буквенных выражений. Поэтому алгебраическая дробь у Ньютона — та же дробь, только с буквами, и действия с ней выполняются по правилам действий с числовыми дробями — так же, как сейчас выполняются действия с рациональными дробями.