Контрольные вопросы и задания на страницах 126-127, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

Рациональной дробью называется дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами, причём многочлен, стоящий в знаменателе, ненулевой. Число тоже является многочленом, поэтому обыкновенные дроби — частный случай рациональных.

Примеры рациональных дробей:

- \(\frac{x^2 - 1}{x + 3}\) — числитель и знаменатель — многочлены от одной переменной;
- \(\frac{2a - b}{a^2 + b^2}\) — числитель и знаменатель — многочлены от двух переменных;
- \(\frac{5}{y}\) — числитель — число 5, то есть многочлен нулевой степени;
- \(\frac{3}{7}\) — обыкновенная дробь.

Условие относится к самому многочлену в знаменателе, а не к его значениям. Знаменатель дроби \(\frac{1}{x - 1}\) обращается в нуль при \(x = 1\), но многочлен \(x - 1\) ненулевой, поэтому \(\frac{1}{x - 1}\) — рациональная дробь, а значение \(x = 1\) для неё недопустимо. Выражение \(\frac{\sqrt{x}}{x + 1}\) рациональной дробью не является: его числитель не многочлен.

Рациональная дробь имеет смысл при тех значениях переменных, при которых её знаменатель не равен нулю; такие значения называют допустимыми. Например, при \(x = 2\) значение дроби \(\frac{x^2 - 1}{x + 3}\) равно \(\frac{2^2 - 1}{2 + 3} = \frac{3}{5} = 0{,}6\), а при \(x = -3\) её знаменатель равен \(-3 + 3 = 0\), и значения у дроби нет. Множество допустимых значений переменной этой дроби задаётся условием \(x + 3 \neq 0\), то есть \(x \neq -3\).

Ответ: рациональной дробью называется дробь, числитель и знаменатель которой — многочлены, причём знаменатель — ненулевой многочлен; например, \(\frac{x^2 - 1}{x + 3}\), \(\frac{2a - b}{a^2 + b^2}\), \(\frac{1}{x - 1}\) и \(\frac{3}{7}\).

Основное свойство рациональной дроби: если \(P\), \(Q\) и \(R\) — многочлены, причём \(Q \neq 0\) и \(R \neq 0\), то \[\frac{P}{Q} = \frac{PR}{QR}.\] Иначе говоря, числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен — получится дробь, равная данной. Деление числителя и знаменателя на их общий ненулевой множитель называется сокращением дроби.

Пример умножения: приведём дробь \(\frac{3}{x - 2}\) к знаменателю \(x^2 - 4\), умножив её числитель и знаменатель на \(x + 2\): \[\frac{3}{x - 2} = \frac{3(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{3x + 6}{x^2 - 4}.\]

Пример сокращения: числитель и знаменатель раскладывают на множители и делят на общий множитель \(a + 3\): \[\frac{a^2 - 9}{a^2 + 3a} = \frac{(a - 3)(a + 3)}{a(a + 3)} = \frac{a - 3}{a}.\] Сокращают только общий множитель числителя и знаменателя, а не слагаемое: в дроби \(\frac{a + 3}{3}\) число 3 сократить нельзя — «сокращение» дало бы выражение \(a + 1\), но при \(a = 3\) дробь равна 2, а выражение \(a + 1\) равно 4.

Множества допустимых значений переменной до и после сокращения могут различаться: дробь \(\frac{a^2 - 9}{a^2 + 3a}\) имеет смысл при \(a \neq 0\) и \(a \neq -3\), а дробь \(\frac{a - 3}{a}\) — при \(a \neq 0\). Равенство этих дробей верно при допустимых значениях переменной исходной дроби.

Ответ: если \(P\), \(Q\), \(R\) — многочлены, \(Q \neq 0\) и \(R \neq 0\), то \(\frac{P}{Q} = \frac{PR}{QR}\): числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить или разделить на один и тот же ненулевой многочлен; например, \(\frac{3}{x - 2} = \frac{3x + 6}{x^2 - 4}\) и \(\frac{a^2 - 9}{a^2 + 3a} = \frac{a - 3}{a}\).

Многочлен делят на двучлен в столбик, располагая записи так же, как при делении многозначных чисел. Делимое и делитель записывают по убыванию степеней переменной; если какой-то степени в делимом нет, на её место записывают член с нулевым коэффициентом. Старший член делимого делят на старший член делителя и получают первый член частного; делитель умножают на этот член, произведение записывают под делимым так, чтобы члены одинаковой степени стояли друг под другом, и вычитают. С полученной разностью поступают так же. Деление заканчивают, когда разность равна нулю или её степень меньше степени делителя: эта разность — остаток.

Разделим многочлен \(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5\) на двучлен \(x - 2\): \[\begin{array}{rrrr|l} 2x^3 & -\,3x^2 & +\,4x & -\,5 & \,x - 2 \\ \underline{2x^3} & \underline{-\,4x^2} & & & \overline{\,2x^2 + x + 6} \\ & x^2 & +\,4x & -\,5 & \\ & \underline{x^2} & \underline{-\,2x} & & \\ & & 6x & -\,5 & \\ & & \underline{6x} & \underline{-\,12} & \\ & & & 7 & \end{array}\] Получилось число 7: его степень равна нулю и меньше степени делителя, равной единице, поэтому деление закончено. Неполное частное равно \(2x^2 + x + 6\), остаток равен 7: \[2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x - 2)(2x^2 + x + 6) + 7.\] Проверка раскрытием скобок: \[\begin{aligned} &(x - 2)(2x^2 + x + 6) + 7 = 2x^3 + x^2 + 6x - 4x^2 - 2x - 12 + 7 = {} \\ &= 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5. \end{aligned}\]

Если остаток равен нулю, многочлен делится на двучлен нацело. Например, при делении \(x^3 - 8\) на \(x - 2\) отсутствующие степени \(x^2\) и \(x\) записаны членами с нулевыми коэффициентами: \[\begin{array}{rrrr|l} x^3 & +\,0x^2 & +\,0x & -\,8 & \,x - 2 \\ \underline{x^3} & \underline{-\,2x^2} & & & \overline{\,x^2 + 2x + 4} \\ & 2x^2 & +\,0x & -\,8 & \\ & \underline{2x^2} & \underline{-\,4x} & & \\ & & 4x & -\,8 & \\ & & \underline{4x} & \underline{-\,8} & \\ & & & 0 & \end{array}\] Остаток равен нулю, поэтому \[(x^3 - 8) : (x - 2) = x^2 + 2x + 4.\]

Ответ: например, при делении многочлена \(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5\) на двучлен \(x - 2\) в столбик получаются неполное частное \(2x^2 + x + 6\) и остаток 7, то есть \(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5 = (x - 2)(2x^2 + x + 6) + 7\); деление заканчивают, когда остаток равен нулю или его степень меньше степени делителя, а при нулевом остатке многочлен делится на двучлен нацело: \(x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)\).

Чтобы сложить рациональные дроби с одинаковыми знаменателями, складывают их числители, а знаменатель оставляют без изменения; чтобы из одной такой дроби вычесть другую, из числителя первой дроби вычитают числитель второй, а знаменатель оставляют без изменения. Если \(A\), \(B\) и \(C\) — многочлены, причём \(C\) — ненулевой многочлен, то \[\begin{aligned} \frac{A}{C} + \frac{B}{C} &= \frac{A + B}{C}; \\ \frac{A}{C} - \frac{B}{C} &= \frac{A - B}{C}. \end{aligned}\] При вычитании числитель второй дроби берут в скобки: вычитается весь многочлен. Если полученную дробь можно сократить, её сокращают.

Пример сложения: \[\begin{aligned} &\frac{x^2 + 3}{x + 1} + \frac{2x - 2}{x + 1} = \frac{x^2 + 3 + 2x - 2}{x + 1} = {} \\ &= \frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = \frac{(x + 1)^2}{x + 1} = x + 1. \end{aligned}\]

Пример вычитания: \[\begin{aligned} &\frac{2a + 5}{a^2 - 4} - \frac{a + 3}{a^2 - 4} = \frac{2a + 5 - (a + 3)}{a^2 - 4} = {} \\ &= \frac{a + 2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{1}{a - 2}. \end{aligned}\]

Ответ: \(\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C}\) и \(\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}\), где \(A\), \(B\), \(C\) — многочлены и \(C\) — ненулевой многочлен: числители складывают или вычитают, а знаменатель оставляют без изменения; например, \(\frac{x^2 + 3}{x + 1} + \frac{2x - 2}{x + 1} = x + 1\) и \(\frac{2a + 5}{a^2 - 4} - \frac{a + 3}{a^2 - 4} = \frac{1}{a - 2}\).

Чтобы сложить или вычесть рациональные дроби с разными знаменателями, их с помощью основного свойства рациональной дроби приводят к общему знаменателю, а затем складывают или вычитают по правилу для дробей с одинаковыми знаменателями.

Если знаменатели не имеют общих множителей, общим знаменателем служит их произведение: если \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — многочлены, причём \(B\) и \(D\) — ненулевые многочлены, то \[\begin{aligned} \frac{A}{B} + \frac{C}{D} &= \frac{AD}{BD} + \frac{CB}{DB} = \frac{AD + CB}{BD}; \\ \frac{A}{B} - \frac{C}{D} &= \frac{AD}{BD} - \frac{CB}{DB} = \frac{AD - CB}{BD}. \end{aligned}\] Если знаменатели имеют общие множители, их раскладывают на множители, а общий знаменатель составляют так же, как наименьшее общее кратное чисел: числитель и знаменатель каждой дроби умножают на те множители знаменателя другой дроби, которых нет в разложении её собственного знаменателя.

Пример сложения дробей, знаменатели которых не имеют общих множителей: \[\begin{aligned} &\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = \frac{2(x + 1)}{x(x + 1)} + \frac{3x}{x(x + 1)} = {} \\ &= \frac{2x + 2 + 3x}{x(x + 1)} = \frac{5x + 2}{x(x + 1)}. \end{aligned}\]

Пример вычитания дробей с общим множителем знаменателей: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\) и \(x^2 + 3x = x(x + 3)\), общий знаменатель — \(x(x - 3)(x + 3)\); числитель и знаменатель первой дроби умножаем на \(x\), второй — на \(x - 3\): \[\begin{aligned} &\frac{1}{x^2 - 9} - \frac{1}{x^2 + 3x} = \frac{x}{x(x - 3)(x + 3)} - \frac{x - 3}{x(x - 3)(x + 3)} = {} \\ &= \frac{x - (x - 3)}{x(x - 3)(x + 3)} = \frac{3}{x(x - 3)(x + 3)}. \end{aligned}\]

Ответ: дроби с разными знаменателями приводят к общему знаменателю, а затем складывают или вычитают по правилу для одинаковых знаменателей; если знаменатели не имеют общих множителей, \(\frac{A}{B} + \frac{C}{D} = \frac{AD + CB}{BD}\) и \(\frac{A}{B} - \frac{C}{D} = \frac{AD - CB}{BD}\), где \(B\) и \(D\) — ненулевые многочлены, а если имеют — общий знаменатель составляют, как наименьшее общее кратное; например, \(\frac{2}{x} + \frac{3}{x + 1} = \frac{5x + 2}{x(x + 1)}\) и \(\frac{1}{x^2 - 9} - \frac{1}{x^2 + 3x} = \frac{3}{x(x - 3)(x + 3)}\).

Произведением двух рациональных дробей является дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей. Если \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — многочлены, причём \(B\) и \(D\) — ненулевые многочлены, то \[\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}.\] Многочлен умножают на дробь, записав его в виде дроби со знаменателем 1: \(A \cdot \frac{B}{C} = \frac{A \cdot B}{C}\). Перед умножением числители и знаменатели раскладывают на множители, а коэффициенты не перемножают: так полученную дробь проще сократить.

Пример с одночленами: \[\frac{6a^3}{5b^2} \cdot \frac{10b}{9a} = \frac{6a^3 \cdot 10b}{5b^2 \cdot 9a} = \frac{2 \cdot 3 \cdot a^3 \cdot 2 \cdot 5 \cdot b}{5 \cdot b^2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot a} = \frac{4a^2}{3b}.\]

Пример с многочленами: \[\frac{x^2 - 4}{x^2 + 3x} \cdot \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)(x + 3)}{x(x + 3)(x + 2)} = \frac{x - 2}{x}.\]

Ответ: \(\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}\), где \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — многочлены и \(B\), \(D\) — ненулевые многочлены: числитель произведения равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей; например, \(\frac{6a^3}{5b^2} \cdot \frac{10b}{9a} = \frac{4a^2}{3b}\) и \(\frac{x^2 - 4}{x^2 + 3x} \cdot \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{x - 2}{x}\).

Если \(A\) и \(B\) — отличные от нуля многочлены, то дробь \(\frac{B}{A}\) называется обратной дроби \(\frac{A}{B}\); произведение дроби и обратной ей дроби равно 1. Чтобы разделить одну рациональную дробь на другую, первую дробь умножают на дробь, обратную второй: если \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — многочлены, причём \(B\), \(C\) и \(D\) отличны от нуля, то \[\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}.\] Условие \(C \neq 0\) нужно потому, что числитель делителя становится знаменателем результата. Многочлен при делении записывают в виде дроби со знаменателем 1.

Пример деления дроби на дробь: \[\begin{aligned} &\frac{a^2 - 1}{2a} : \frac{a + 1}{4a^2} = \frac{a^2 - 1}{2a} \cdot \frac{4a^2}{a + 1} = {} \\ &= \frac{(a - 1)(a + 1) \cdot 4a^2}{2a(a + 1)} = 2a(a - 1) = 2a^2 - 2a. \end{aligned}\]

Пример деления дроби на многочлен: \[\frac{x^2 - 9}{x} : (x + 3) = \frac{x^2 - 9}{x(x + 3)} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)} = \frac{x - 3}{x}.\]

Ответ: чтобы разделить дробь \(\frac{A}{B}\) на дробь \(\frac{C}{D}\), её умножают на дробь, обратную делителю: \(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}\), где \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) — многочлены и \(B\), \(C\), \(D\) отличны от нуля; например, \(\frac{a^2 - 1}{2a} : \frac{a + 1}{4a^2} = 2a^2 - 2a\) и \(\frac{x^2 - 9}{x} : (x + 3) = \frac{x - 3}{x}\).

Чтобы возвести рациональную дробь в натуральную степень, в эту степень возводят отдельно числитель и отдельно знаменатель: если \(A\) и \(B\) — многочлены, \(B\) — ненулевой многочлен и \(n\) — натуральное число, то \[\left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n}.\] Это следует из правила умножения дробей: степень \(\left(\frac{A}{B}\right)^n\) — произведение \(n\) множителей, равных \(\frac{A}{B}\), поэтому её числитель — произведение \(n\) множителей \(A\), а знаменатель — произведение \(n\) множителей \(B\). В степень возводится весь числитель и весь знаменатель, в том числе их числовые коэффициенты.

Примеры:

- \(\left(\frac{2x^2}{3y^3}\right)^3 = \frac{(2x^2)^3}{(3y^3)^3} = \frac{8x^6}{27y^9}\) — коэффициенты 2 и 3 тоже возводятся в куб;
- \(\left(-\frac{a}{2b}\right)^3 = -\frac{a^3}{8b^3}\), а \(\left(-\frac{a}{2b}\right)^4 = \frac{a^4}{16b^4}\) — при возведении в нечётную степень минус перед дробью сохраняется, а при возведении в чётную пропадает;
- \(\left(\frac{x - 1}{x + 2}\right)^2 = \frac{(x - 1)^2}{(x + 2)^2}\).

Ответ: чтобы возвести рациональную дробь в натуральную степень, в эту степень возводят отдельно числитель и знаменатель: \(\left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n}\), где \(B\) — ненулевой многочлен; например, \(\left(\frac{2x^2}{3y^3}\right)^3 = \frac{8x^6}{27y^9}\).

Выделить целую часть рациональной дроби \(\frac{P(x)}{Q(x)}\) — значит записать её в виде \(T(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}\), где \(T(x)\) и \(R(x)\) — многочлены, причём \(R(x) = 0\) или степень многочлена \(R(x)\) меньше степени многочлена \(Q(x)\). Многочлен \(T(x)\) называется целой частью дроби, а дробь \(\frac{R(x)}{Q(x)}\) — её дробной частью.

Первый способ — представить числитель в виде суммы или разности двух многочленов, один из которых делится на знаменатель, а другой равен нулю или имеет степень меньше степени знаменателя: \[\frac{3x + 7}{x + 2} = \frac{3(x + 2) + 1}{x + 2} = \frac{3(x + 2)}{x + 2} + \frac{1}{x + 2} = 3 + \frac{1}{x + 2}.\] Целая часть может быть и нецелым числом. Если степени числителя и знаменателя равны, целая часть равна отношению коэффициентов при старших степенях переменной: \[\frac{2x + 1}{3x - 3} = \frac{\frac{2}{3}(3x - 3) + 3}{3x - 3} = \frac{2}{3} + \frac{3}{3x - 3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{x - 1}.\]

Второй способ — разделить числитель на знаменатель в столбик: неполное частное будет целой частью, а остаток — числителем дробной части. Например, для дроби \(\frac{x^3 + 2x^2 - 3}{x^2 + 1}\): \[\begin{array}{rrrr|l} x^3 & +\,2x^2 & +\,0x & -\,3 & \,x^2 + 1 \\ \underline{x^3} & \underline{+\,0x^2} & \underline{+\,x} & & \overline{\,x + 2} \\ & 2x^2 & -\,x & -\,3 & \\ & \underline{2x^2} & \underline{+\,0x} & \underline{+\,2} & \\ & & -x & -\,5 & \end{array}\] Степень остатка \(-x - 5\) равна 1, а степень делителя равна 2, поэтому деление закончено: \(x^3 + 2x^2 - 3 = (x^2 + 1)(x + 2) - x - 5\). Следовательно, \[\frac{x^3 + 2x^2 - 3}{x^2 + 1} = \frac{(x^2 + 1)(x + 2) - x - 5}{x^2 + 1} = x + 2 - \frac{x + 5}{x^2 + 1}.\]

Ответ: например, \(\frac{3x + 7}{x + 2} = 3 + \frac{1}{x + 2}\), \(\frac{2x + 1}{3x - 3} = \frac{2}{3} + \frac{1}{x - 1}\) и \(\frac{x^3 + 2x^2 - 3}{x^2 + 1} = x + 2 - \frac{x + 5}{x^2 + 1}\); целая часть — многочлен (в частности, число), а числитель дробной части равен нулю или имеет степень меньше степени знаменателя.