Страница 128 номер 664, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выясните, при каких целых значениях \(a\) дробь \(\frac{a^2-4a+1}{a-2}\) принимает целые значения.
При \(a = 2\) знаменатель дроби обращается в нуль, поэтому \(a \neq 2\).
\(a^2 - 4a + 1 = (a^2 - 4a + 4) - 3 = (a - 2)^2 - 3\), поэтому \[\frac{a^2 - 4a + 1}{a - 2} = \frac{(a - 2)^2 - 3}{a - 2} = a - 2 - \frac{3}{a - 2}.\] При целом \(a\) число \(a - 2\) целое, поэтому значение дроби целое тогда и только тогда, когда \(\frac{3}{a - 2}\) — целое число, то есть \(a - 2\) — делитель числа 3:
- \(a - 2 = -3\), \(a = -1\);
- \(a - 2 = -1\), \(a = 1\);
- \(a - 2 = 1\), \(a = 3\);
- \(a - 2 = 3\), \(a = 5\).
Все эти числа отличны от 2.
Проверка: при \(a = -1\) дробь равна \(\frac{1 + 4 + 1}{-3} = -2\);
при \(a = 1\) — \(\frac{1 - 4 + 1}{-1} = 2\);
при \(a = 3\) — \(\frac{9 - 12 + 1}{1} = -2\);
при \(a = 5\) — \(\frac{25 - 20 + 1}{3} = 2\).
Ответ: \(-1\); \(1\); \(3\); \(5\).
Выясните, при каких целых значениях \(a\) дробь \(\frac{a^2-4a+1}{a-2}\) принимает целые значения.
При \(a = 2\) знаменатель дроби обращается в нуль, поэтому \(a \neq 2\). Выделим целую часть дроби, представив числитель через квадрат двучлена \(a - 2\): \(a^2 - 4a + 1 = (a^2 - 4a + 4) - 3 = (a - 2)^2 - 3\). Следовательно, \[\frac{a^2 - 4a + 1}{a - 2} = \frac{(a - 2)^2 - 3}{a - 2} = a - 2 - \frac{3}{a - 2}.\] При целом \(a\) число \(a - 2\) целое, поэтому значение дроби целое тогда и только тогда, когда целым является число \(\frac{3}{a - 2}\), то есть когда \(a - 2\) — делитель числа 3: одно из чисел \(-3\), \(-1\), \(1\) или \(3\). В этих случаях \(a\) равно \(-1\), \(1\), \(3\) или \(5\) соответственно; все эти числа отличны от 2.
Проверка: при \(a = -1\) дробь равна \(\frac{1 + 4 + 1}{-3} = -2\), при \(a = 1\) — \(\frac{1 - 4 + 1}{-1} = 2\), при \(a = 3\) — \(\frac{9 - 12 + 1}{1} = -2\), при \(a = 5\) — \(\frac{25 - 20 + 1}{3} = 2\).
Ответ: \(-1\); \(1\); \(3\); \(5\).
