Страница 123 номер 631, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выполните умножение: а) \(\frac{x^2-6x}{x^2-9} \cdot \frac{x^2-3x}{x^2-36}\); б) \(\frac{x^8}{y} \cdot \frac{7y^7-7xy^6}{x^6}\); в) \(\frac{x^4y}{a^2+a} \cdot \frac{a^3+a^2}{xy^2}\); г) \((x^2-16) \cdot \frac{4x}{(x-4)^2}\).
а) \[\begin{aligned} x^2 - 6x &= x(x - 6); \\ x^2 - 9 &= (x - 3)(x + 3); \\ x^2 - 3x &= x(x - 3); \\ x^2 - 36 &= (x - 6)(x + 6). \end{aligned}\] Сократим дробь на общий множитель \((x - 6)(x - 3)\): \[\begin{aligned} &\frac{x^2 - 6x}{x^2 - 9} \cdot \frac{x^2 - 3x}{x^2 - 36} = \frac{x(x - 6) \cdot x(x - 3)}{(x - 3)(x + 3) \cdot (x - 6)(x + 6)} = {} \\ &= \frac{x^2}{(x + 3)(x + 6)}. \end{aligned}\]
б) \(7y^7 - 7xy^6 = 7y^6(y - x)\). \[\begin{aligned} &\frac{x^8}{y} \cdot \frac{7y^7 - 7xy^6}{x^6} = \frac{x^8 \cdot 7y^6(y - x)}{y \cdot x^6} = {} \\ &= 7x^2y^5(y - x) = 7x^2y^6 - 7x^3y^5. \end{aligned}\]
в) \(a^2 + a = a(a + 1)\);
\(a^3 + a^2 = a^2(a + 1)\).
\[\frac{x^4y}{a^2 + a} \cdot \frac{a^3 + a^2}{xy^2} = \frac{x^4y \cdot a^2(a + 1)}{a(a + 1) \cdot xy^2} = \frac{ax^3}{y}.\]
г) \[(x^2 - 16) \cdot \frac{4x}{(x - 4)^2} = \frac{(x - 4)(x + 4) \cdot 4x}{(x - 4)^2} = \frac{4x(x + 4)}{x - 4}.\]
Ответ: а) \(\frac{x^2}{(x + 3)(x + 6)}\); б) \(7x^2y^6 - 7x^3y^5\); в) \(\frac{ax^3}{y}\); г) \(\frac{4x(x + 4)}{x - 4}\).
Выполните умножение: а) \(\frac{x^2-6x}{x^2-9} \cdot \frac{x^2-3x}{x^2-36}\); б) \(\frac{x^8}{y} \cdot \frac{7y^7-7xy^6}{x^6}\); в) \(\frac{x^4y}{a^2+a} \cdot \frac{a^3+a^2}{xy^2}\); г) \((x^2-16) \cdot \frac{4x}{(x-4)^2}\).
а) Разложим на множители числители и знаменатели дробей: \[\begin{aligned} x^2 - 6x &= x(x - 6); \\ x^2 - 9 &= (x - 3)(x + 3); \\ x^2 - 3x &= x(x - 3); \\ x^2 - 36 &= (x - 6)(x + 6). \end{aligned}\] Выполним умножение и сократим получившуюся дробь на общий множитель \((x - 6)(x - 3)\): \[\begin{aligned} &\frac{x^2 - 6x}{x^2 - 9} \cdot \frac{x^2 - 3x}{x^2 - 36} = \frac{x(x - 6) \cdot x(x - 3)}{(x - 3)(x + 3) \cdot (x - 6)(x + 6)} = {} \\ &= \frac{x^2}{(x + 3)(x + 6)}. \end{aligned}\]
б) Вынесем в числителе второй дроби общий множитель \(7y^6\) за скобки: \(7y^7 - 7xy^6 = 7y^6(y - x)\). Выполним умножение и сократим получившуюся дробь на общий множитель \(x^6y\). Знаменатель сокращается полностью, поэтому результат — многочлен; запишем его в стандартном виде: \[\begin{aligned} &\frac{x^8}{y} \cdot \frac{7y^7 - 7xy^6}{x^6} = \frac{x^8 \cdot 7y^6(y - x)}{y \cdot x^6} = {} \\ &= 7x^2y^5(y - x) = 7x^2y^6 - 7x^3y^5. \end{aligned}\]
в) Вынесем общие множители за скобки: \(a^2 + a = a(a + 1)\), \(a^3 + a^2 = a^2(a + 1)\). Выполним умножение и сократим получившуюся дробь на общий множитель \(axy(a + 1)\): \[\frac{x^4y}{a^2 + a} \cdot \frac{a^3 + a^2}{xy^2} = \frac{x^4y \cdot a^2(a + 1)}{a(a + 1) \cdot xy^2} = \frac{ax^3}{y}.\]
г) Разложим многочлен \(x^2 - 16\) на множители по формуле разности квадратов, выполним умножение и сократим получившуюся дробь на общий множитель \(x - 4\): \[(x^2 - 16) \cdot \frac{4x}{(x - 4)^2} = \frac{(x - 4)(x + 4) \cdot 4x}{(x - 4)^2} = \frac{4x(x + 4)}{x - 4}.\]
Ответ: а) \(\frac{x^2}{(x + 3)(x + 6)}\); б) \(7x^2y^6 - 7x^3y^5\); в) \(\frac{ax^3}{y}\); г) \(\frac{4x(x + 4)}{x - 4}\).
