Страница 128 номер 663, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выполните деление: а) \(\frac{x^4-3x^2+1}{x^3-27}:\frac{x^2+x-1}{x^2+3x+9}\); б) \(\frac{p^2-4q^2}{(p+2q)^2}:\frac{p^3-8q^3}{4q^2+2pq+p^2}\).
а) \[\begin{aligned} &x^4 - 3x^2 + 1 = (x^4 - 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 - 1)^2 - x^2 = {} \\ &= (x^2 - 1 - x)(x^2 - 1 + x) = (x^2 - x - 1)(x^2 + x - 1). \end{aligned}\] \(x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)\). \[\begin{aligned} &\frac{x^4 - 3x^2 + 1}{x^3 - 27} : \frac{x^2 + x - 1}{x^2 + 3x + 9} = \frac{x^4 - 3x^2 + 1}{x^3 - 27} \cdot \frac{x^2 + 3x + 9}{x^2 + x - 1} = {} \\ &= \frac{(x^2 - x - 1)(x^2 + x - 1)(x^2 + 3x + 9)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)(x^2 + x - 1)} = \frac{x^2 - x - 1}{x - 3}. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} p^2 - 4q^2 &= (p - 2q)(p + 2q); \\ p^3 - 8q^3 &= (p - 2q)(p^2 + 2pq + 4q^2). \end{aligned}\] Знаменатель второй дроби \(4q^2 + 2pq + p^2 = p^2 + 2pq + 4q^2\) — тот же трёхчлен, что и в разложении разности кубов. \[\begin{aligned} &\frac{p^2 - 4q^2}{(p + 2q)^2} : \frac{p^3 - 8q^3}{4q^2 + 2pq + p^2} = \frac{p^2 - 4q^2}{(p + 2q)^2} \cdot \frac{4q^2 + 2pq + p^2}{p^3 - 8q^3} = {} \\ &= \frac{(p - 2q)(p + 2q)(p^2 + 2pq + 4q^2)}{(p + 2q)^2(p - 2q)(p^2 + 2pq + 4q^2)} = \frac{1}{p + 2q}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{x^2 - x - 1}{x - 3}\); б) \(\frac{1}{p + 2q}\).
Выполните деление: а) \(\frac{x^4-3x^2+1}{x^3-27}:\frac{x^2+x-1}{x^2+3x+9}\); б) \(\frac{p^2-4q^2}{(p+2q)^2}:\frac{p^3-8q^3}{4q^2+2pq+p^2}\).
а) Разложим на множители числитель первой дроби, выделив в нём квадрат двучлена и применив формулу разности квадратов: \[\begin{aligned} &x^4 - 3x^2 + 1 = (x^4 - 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 - 1)^2 - x^2 = {} \\ &= (x^2 - 1 - x)(x^2 - 1 + x) = (x^2 - x - 1)(x^2 + x - 1). \end{aligned}\] Знаменатель первой дроби разложим по формуле разности кубов: \(x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)\). Умножим первую дробь на дробь, обратную второй, и сократим полученную дробь: \[\begin{aligned} &\frac{x^4 - 3x^2 + 1}{x^3 - 27} : \frac{x^2 + x - 1}{x^2 + 3x + 9} = \frac{x^4 - 3x^2 + 1}{x^3 - 27} \cdot \frac{x^2 + 3x + 9}{x^2 + x - 1} = {} \\ &= \frac{(x^2 - x - 1)(x^2 + x - 1)(x^2 + 3x + 9)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)(x^2 + x - 1)} = \frac{x^2 - x - 1}{x - 3}. \end{aligned}\]
б) Числитель первой дроби разложим по формуле разности квадратов, а числитель второй — по формуле разности кубов: \[\begin{aligned} p^2 - 4q^2 &= (p - 2q)(p + 2q); \\ p^3 - 8q^3 &= (p - 2q)(p^2 + 2pq + 4q^2). \end{aligned}\] Знаменатель второй дроби \(4q^2 + 2pq + p^2 = p^2 + 2pq + 4q^2\) — неполный квадрат суммы \(p\) и \(2q\), тот же трёхчлен, что и в разложении разности кубов. Умножим первую дробь на дробь, обратную второй, и сократим полученную дробь: \[\begin{aligned} &\frac{p^2 - 4q^2}{(p + 2q)^2} : \frac{p^3 - 8q^3}{4q^2 + 2pq + p^2} = \frac{p^2 - 4q^2}{(p + 2q)^2} \cdot \frac{4q^2 + 2pq + p^2}{p^3 - 8q^3} = {} \\ &= \frac{(p - 2q)(p + 2q)(p^2 + 2pq + 4q^2)}{(p + 2q)^2(p - 2q)(p^2 + 2pq + 4q^2)} = \frac{1}{p + 2q}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{x^2 - x - 1}{x - 3}\); б) \(\frac{1}{p + 2q}\).
