Страница 128 номер 654, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выполните сложение: \(\frac{x+15}{x^2+2x-3}+\frac{3}{x+3}\).
Корни уравнения \(x^2 + 2x - 3 = 0\) — числа \(-3\) и 1: их сумма равна \(-2\), а произведение равно \(-3\). Следовательно, \(x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)\).
Общий знаменатель — \((x + 3)(x - 1)\), дополнительный множитель второй дроби — \(x - 1\): \[\begin{aligned} &\frac{x + 15}{x^2 + 2x - 3} + \frac{3}{x + 3} = \frac{x + 15}{(x + 3)(x - 1)} + \frac{3(x - 1)}{(x + 3)(x - 1)} = {} \\ &= \frac{x + 15 + 3x - 3}{(x + 3)(x - 1)} = \frac{4x + 12}{(x + 3)(x - 1)}. \end{aligned}\] Сократим дробь на \(x + 3\): \[\frac{4x + 12}{(x + 3)(x - 1)} = \frac{4(x + 3)}{(x + 3)(x - 1)} = \frac{4}{x - 1}.\]
Ответ: \(\frac{4}{x - 1}\).
Выполните сложение: \(\frac{x+15}{x^2+2x-3}+\frac{3}{x+3}\).
Разложим знаменатель первой дроби на множители. Корнями уравнения \(x^2 + 2x - 3 = 0\) по теореме, обратной теореме Виета, являются числа \(-3\) и 1: их сумма равна \(-2\), а произведение равно \(-3\). Следовательно, \(x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)\).
Знаменатели дробей имеют общий множитель \(x + 3\), поэтому общий знаменатель — \((x + 3)(x - 1)\): числитель и знаменатель второй дроби умножим на \(x - 1\): \[\begin{aligned} &\frac{x + 15}{x^2 + 2x - 3} + \frac{3}{x + 3} = \frac{x + 15}{(x + 3)(x - 1)} + \frac{3(x - 1)}{(x + 3)(x - 1)} = {} \\ &= \frac{x + 15 + 3x - 3}{(x + 3)(x - 1)} = \frac{4x + 12}{(x + 3)(x - 1)}. \end{aligned}\] Получившуюся дробь можно сократить: её числитель \(4x + 12 = 4(x + 3)\). Сократим дробь на \(x + 3\): \[\frac{4x + 12}{(x + 3)(x - 1)} = \frac{4(x + 3)}{(x + 3)(x - 1)} = \frac{4}{x - 1}.\]
Ответ: \(\frac{4}{x - 1}\).
