Страница 126 номер 641, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения: а) \(\frac{(2\sqrt{7}-3\sqrt{6})^2}{41-6\sqrt{42}}\); б) \(\sqrt{73^2-48^2}\).
а) Знаменатель дроби не равен нулю: \(6\sqrt{42} = \sqrt{36 \cdot 42} = \sqrt{1512}\), \(41 = \sqrt{1681}\) и \(1512 < 1681\), поэтому \(6\sqrt{42} < 41\) и \(41 - 6\sqrt{42} > 0\).
\((2\sqrt{7})^2 = 28\);
\((3\sqrt{6})^2 = 54\);
\(2 \cdot 2\sqrt{7} \cdot 3\sqrt{6} = 12\sqrt{42}\).
\[\begin{aligned} &\frac{(2\sqrt{7} - 3\sqrt{6})^2}{41 - 6\sqrt{42}} = \frac{28 - 12\sqrt{42} + 54}{41 - 6\sqrt{42}} = {} \\ &= \frac{82 - 12\sqrt{42}}{41 - 6\sqrt{42}} = \frac{2(41 - 6\sqrt{42})}{41 - 6\sqrt{42}} = 2. \end{aligned}\]
б) \[\begin{aligned} &\sqrt{73^2 - 48^2} = \sqrt{(73 - 48)(73 + 48)} = {} \\ &= \sqrt{25 \cdot 121} = 5 \cdot 11 = 55. \end{aligned}\]
Ответ: а) 2; б) 55.
Найдите значение выражения: а) \(\frac{(2\sqrt{7}-3\sqrt{6})^2}{41-6\sqrt{42}}\); б) \(\sqrt{73^2-48^2}\).
а) Знаменатель дроби не равен нулю: \(6\sqrt{42} = \sqrt{36 \cdot 42} = \sqrt{1512}\), \(41 = \sqrt{1681}\) и \(1512 < 1681\), поэтому \(6\sqrt{42} < 41\) и \(41 - 6\sqrt{42} > 0\). Числитель раскроем по формуле квадрата разности: квадраты \((2\sqrt{7})^2 = 28\) и \((3\sqrt{6})^2 = 54\), удвоенное произведение \(2 \cdot 2\sqrt{7} \cdot 3\sqrt{6} = 12\sqrt{42}\). Затем вынесем в числителе за скобки общий множитель 2 и сократим дробь: \[\begin{aligned} &\frac{(2\sqrt{7} - 3\sqrt{6})^2}{41 - 6\sqrt{42}} = \frac{28 - 12\sqrt{42} + 54}{41 - 6\sqrt{42}} = {} \\ &= \frac{82 - 12\sqrt{42}}{41 - 6\sqrt{42}} = \frac{2(41 - 6\sqrt{42})}{41 - 6\sqrt{42}} = 2. \end{aligned}\]
б) Подкоренное выражение разложим на множители по формуле разности квадратов; корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней из них: \[\begin{aligned} &\sqrt{73^2 - 48^2} = \sqrt{(73 - 48)(73 + 48)} = {} \\ &= \sqrt{25 \cdot 121} = 5 \cdot 11 = 55. \end{aligned}\]
Ответ: а) 2; б) 55.
