Страница 128 номер 656, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выполните умножение: а) \(\left(\frac{a}{c}\right)^5 \cdot \left(\frac{c}{a}\right)^6\); б) \(\frac{49x^2-36}{4x^2-8x+3}\cdot\left(\frac{2x^2}{7x-6}-1\right)\); в) \(\frac{x^2-9x}{x^2-4}\cdot\frac{x^2+2x}{x^2-81}\).
а) Сократим дробь на \(a^5c^5\): \[\left(\frac{a}{c}\right)^5 \cdot \left(\frac{c}{a}\right)^6 = \frac{a^5}{c^5} \cdot \frac{c^6}{a^6} = \frac{a^5 \cdot c^6}{c^5 \cdot a^6} = \frac{c}{a}.\]
б) \[\frac{2x^2}{7x - 6} - 1 = \frac{2x^2}{7x - 6} - \frac{7x - 6}{7x - 6} = \frac{2x^2 - (7x - 6)}{7x - 6} = \frac{2x^2 - 7x + 6}{7x - 6}.\] \(49x^2 - 36 = (7x - 6)(7x + 6)\).
Корни уравнения \(4x^2 - 8x + 3 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16; \\ x_1 &= \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{1}{2}; \\ x_2 &= \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{3}{2}. \end{aligned}\] Следовательно, \(4x^2 - 8x + 3 = 4\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{3}{2}\right) = (2x - 1)(2x - 3)\).
Корни уравнения \(2x^2 - 7x + 6 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1; \\ x_1 &= \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{3}{2}; \\ x_2 &= \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = 2. \end{aligned}\] Следовательно, \(2x^2 - 7x + 6 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)(x - 2) = (2x - 3)(x - 2)\).
Сократим дробь на \((7x - 6)(2x - 3)\): \[\begin{aligned} &\frac{49x^2 - 36}{4x^2 - 8x + 3} \cdot \left(\frac{2x^2}{7x - 6} - 1\right) = \frac{49x^2 - 36}{4x^2 - 8x + 3} \cdot \frac{2x^2 - 7x + 6}{7x - 6} = {} \\ &= \frac{(7x - 6)(7x + 6) \cdot (2x - 3)(x - 2)}{(2x - 1)(2x - 3) \cdot (7x - 6)} = \frac{(7x + 6)(x - 2)}{2x - 1}. \end{aligned}\]
в) \[\begin{aligned} x^2 - 9x &= x(x - 9); \\ x^2 - 4 &= (x - 2)(x + 2); \\ x^2 + 2x &= x(x + 2); \\ x^2 - 81 &= (x - 9)(x + 9). \end{aligned}\] Сократим дробь на \((x - 9)(x + 2)\): \[\begin{aligned} &\frac{x^2 - 9x}{x^2 - 4} \cdot \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 81} = \frac{x(x - 9) \cdot x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2) \cdot (x - 9)(x + 9)} = {} \\ &= \frac{x^2}{(x - 2)(x + 9)}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{c}{a}\); б) \(\frac{(7x + 6)(x - 2)}{2x - 1}\); в) \(\frac{x^2}{(x - 2)(x + 9)}\).
Выполните умножение: а) \(\left(\frac{a}{c}\right)^5 \cdot \left(\frac{c}{a}\right)^6\); б) \(\frac{49x^2-36}{4x^2-8x+3}\cdot\left(\frac{2x^2}{7x-6}-1\right)\); в) \(\frac{x^2-9x}{x^2-4}\cdot\frac{x^2+2x}{x^2-81}\).
а) Возведём в степень отдельно числитель и знаменатель каждой дроби, затем выполним умножение и сократим получившуюся дробь на \(a^5c^5\): \[\left(\frac{a}{c}\right)^5 \cdot \left(\frac{c}{a}\right)^6 = \frac{a^5}{c^5} \cdot \frac{c^6}{a^6} = \frac{a^5 \cdot c^6}{c^5 \cdot a^6} = \frac{c}{a}.\]
б) Выполним вычитание в скобках: представим 1 в виде дроби со знаменателем \(7x - 6\), а числитель вычитаемого возьмём в скобки: \[\frac{2x^2}{7x - 6} - 1 = \frac{2x^2}{7x - 6} - \frac{7x - 6}{7x - 6} = \frac{2x^2 - (7x - 6)}{7x - 6} = \frac{2x^2 - 7x + 6}{7x - 6}.\] Разложим на множители числители и знаменатели дробей. По формуле разности квадратов \(49x^2 - 36 = (7x - 6)(7x + 6)\).
Корни уравнения \(4x^2 - 8x + 3 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16; \\ x_1 &= \frac{8 - \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 - 4}{8} = \frac{1}{2}; \\ x_2 &= \frac{8 + \sqrt{16}}{2 \cdot 4} = \frac{8 + 4}{8} = \frac{3}{2}. \end{aligned}\] Следовательно, \(4x^2 - 8x + 3 = 4\left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{3}{2}\right) = (2x - 1)(2x - 3)\).
Корни уравнения \(2x^2 - 7x + 6 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1; \\ x_1 &= \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 1}{4} = \frac{3}{2}; \\ x_2 &= \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 1}{4} = 2. \end{aligned}\] Следовательно, \(2x^2 - 7x + 6 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)(x - 2) = (2x - 3)(x - 2)\).
Выполним умножение и сократим получившуюся дробь на \((7x - 6)(2x - 3)\): \[\begin{aligned} &\frac{49x^2 - 36}{4x^2 - 8x + 3} \cdot \left(\frac{2x^2}{7x - 6} - 1\right) = \frac{49x^2 - 36}{4x^2 - 8x + 3} \cdot \frac{2x^2 - 7x + 6}{7x - 6} = {} \\ &= \frac{(7x - 6)(7x + 6) \cdot (2x - 3)(x - 2)}{(2x - 1)(2x - 3) \cdot (7x - 6)} = \frac{(7x + 6)(x - 2)}{2x - 1}. \end{aligned}\]
в) Разложим на множители числители и знаменатели дробей — вынесем общий множитель за скобки и применим формулу разности квадратов: \[\begin{aligned} x^2 - 9x &= x(x - 9); \\ x^2 - 4 &= (x - 2)(x + 2); \\ x^2 + 2x &= x(x + 2); \\ x^2 - 81 &= (x - 9)(x + 9). \end{aligned}\] Выполним умножение и сократим получившуюся дробь на \((x - 9)(x + 2)\): \[\begin{aligned} &\frac{x^2 - 9x}{x^2 - 4} \cdot \frac{x^2 + 2x}{x^2 - 81} = \frac{x(x - 9) \cdot x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2) \cdot (x - 9)(x + 9)} = {} \\ &= \frac{x^2}{(x - 2)(x + 9)}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{c}{a}\); б) \(\frac{(7x + 6)(x - 2)}{2x - 1}\); в) \(\frac{x^2}{(x - 2)(x + 9)}\).
