Страница 128 номер 662, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень

При \(n = 3\) знаменатель \(n - 3\) обращается в нуль, и выражение не имеет смысла, поэтому \(n \neq 3\). Выделим целую часть дроби — разделим в столбик многочлен \(3n^2 - 16n + 21\) на двучлен \(n - 3\): \[\begin{array}{rrr|l} 3n^2 & -\,16n & +\,21 & \,n - 3 \\ \underline{3n^2} & \underline{-\,9n} & & \overline{\,3n - 7} \\ & -7n & +\,21 & \\ & \underline{-7n} & \underline{+\,21} & \\ & & 0 & \end{array}\] Остаток равен нулю, значит, \(3n^2 - 16n + 21 = (n - 3)(3n - 7)\), и при \(n \neq 3\) \[\frac{3n^2 - 16n + 21}{n - 3} = \frac{(n - 3)(3n - 7)}{n - 3} = 3n - 7.\] При натуральном \(n\) число \(3n - 7\) целое, а натуральным оно является тогда и только тогда, когда \(3n - 7 \geqslant 1\), то есть \(3n \geqslant 8\), \(n \geqslant \frac{8}{3}\). Натуральные числа, не меньшие \(\frac{8}{3}\), — это \(3\), \(4\), \(5\), … Значение \(n = 3\) исключено: при нём знаменатель равен нулю, хотя \(3 \cdot 3 - 7 = 2\). Следовательно, выражение принимает натуральные значения при всех натуральных \(n \geqslant 4\).

Ответ: все натуральные \(n \geqslant 4\).