Страница 128 номер 661, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
При каких натуральных \(n\) выражение \(\frac{2n-3}{n+1}\) принимает целые значения?
При натуральных \(n\) знаменатель \(n + 1\) не равен нулю. \[\frac{2n - 3}{n + 1} = \frac{2(n + 1) - 5}{n + 1} = 2 - \frac{5}{n + 1}.\] Число 2 целое, поэтому значение выражения целое тогда и только тогда, когда \(\frac{5}{n + 1}\) — целое число, то есть \(n + 1\) — делитель числа 5:
- \(n + 1 = -5\), \(n = -6\) — не натуральное;
- \(n + 1 = -1\), \(n = -2\) — не натуральное;
- \(n + 1 = 1\), \(n = 0\) — не натуральное;
- \(n + 1 = 5\), \(n = 4\) — натуральное.
Проверка: при \(n = 4\) значение выражения равно \(\frac{2 \cdot 4 - 3}{4 + 1} = \frac{5}{5} = 1\) — целое число.
Ответ: \(4\).
При каких натуральных \(n\) выражение \(\frac{2n-3}{n+1}\) принимает целые значения?
При натуральных \(n\) знаменатель \(n + 1\) не равен нулю. Выделим целую часть дроби: \[\frac{2n - 3}{n + 1} = \frac{2(n + 1) - 5}{n + 1} = 2 - \frac{5}{n + 1}.\] Число 2 целое, поэтому значение выражения целое тогда и только тогда, когда целым является число \(\frac{5}{n + 1}\), то есть когда \(n + 1\) — делитель числа 5: одно из чисел \(-5\), \(-1\), \(1\) или \(5\). В этих случаях \(n\) равно \(-6\), \(-2\), \(0\) или \(4\) соответственно. Натуральное число среди них одно — \(4\): числа \(-6\), \(-2\) и \(0\) натуральными не являются.
Проверка: при \(n = 4\) значение выражения равно \(\frac{2 \cdot 4 - 3}{4 + 1} = \frac{5}{5} = 1\) — целое число.
Ответ: \(4\).
