Страница 133 номер 673, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Равенство является тождеством, если его части равны при всех допустимых значениях переменной; если при каком-то значении обе части определены и различны, равенство тождеством не является.
1) \[2 - \frac{2x + 7}{x^2} = \frac{2x^2 - (2x + 7)}{x^2} = \frac{2x^2 - 2x - 7}{x^2}.\] Левая часть преобразована в правую, значит, равенство 1) — тождество.
2) При \(x = 5\) обе части равенства определены: левая часть равна \(\frac{2{,}4 \cdot 5 + 12}{0{,}8 \cdot 5 + 6} = \frac{24}{10} = 2{,}4\), а правая — 2. Значения различны, значит, равенство 2) не является тождеством.
3) \[\frac{7x - 3}{5x - 2} - \frac{2x - 1}{5x - 2} = \frac{7x - 3 - (2x - 1)}{5x - 2} = \frac{5x - 2}{5x - 2} = 1.\] При всех допустимых значениях переменной левая часть равна 1, то есть правой части, значит, равенство 3) — тождество.
4) \[\frac{5a^2}{7} : \frac{21}{5a^4} = \frac{5a^2}{7} \cdot \frac{5a^4}{21} = \frac{25a^6}{147}.\] При \(a = 1\) обе части равенства определены: левая часть равна \(\frac{25 \cdot 1^6}{147} = \frac{25}{147}\), а правая — \(\frac{3}{1^2} = 3\). Значения различны, значит, равенство 4) не является тождеством.
5) При \(x = 1\) обе части равенства определены: левая часть равна \(\frac{2}{4 \cdot 1^2 - 14 \cdot 1 + 49} = \frac{2}{39}\), а правая — \(\frac{2}{(2 \cdot 1 - 7)^2} = \frac{2}{25}\). Значения различны, значит, равенство 5) не является тождеством.
Ответ: тождествами являются равенства 1) \(2 - \frac{2x + 7}{x^2} = \frac{2x^2 - 2x - 7}{x^2}\) и 3) \(\frac{7x - 3}{5x - 2} - \frac{2x - 1}{5x - 2} = 1\).
Равенство является тождеством, если его части принимают равные значения при всех допустимых значениях переменной, то есть при всех значениях, при которых обе части имеют смысл. Если найдётся хотя бы одно значение переменной, при котором обе части определены и принимают различные значения, то равенство тождеством не является.
1) Преобразуем левую часть, представив число 2 в виде дроби со знаменателем \(x^2\): \[2 - \frac{2x + 7}{x^2} = \frac{2x^2 - (2x + 7)}{x^2} = \frac{2x^2 - 2x - 7}{x^2}.\] Левая часть преобразована в правую, значит, равенство 1) — тождество.
2) При \(x = 5\) обе части равенства определены. Левая часть равна \(\frac{2{,}4 \cdot 5 + 12}{0{,}8 \cdot 5 + 6} = \frac{24}{10} = 2{,}4\), а правая равна 2. Значения различны, значит, равенство 2) не является тождеством.
3) Вычтем дроби с одинаковыми знаменателями: \[\frac{7x - 3}{5x - 2} - \frac{2x - 1}{5x - 2} = \frac{7x - 3 - (2x - 1)}{5x - 2} = \frac{5x - 2}{5x - 2} = 1.\] При всех допустимых значениях переменной левая часть равна 1, то есть правой части, значит, равенство 3) — тождество.
4) Выполним деление в левой части, умножив первую дробь на дробь, обратную второй: \[\frac{5a^2}{7} : \frac{21}{5a^4} = \frac{5a^2}{7} \cdot \frac{5a^4}{21} = \frac{25a^6}{147}.\] При \(a = 1\) обе части равенства определены: левая часть равна \(\frac{25 \cdot 1^6}{147} = \frac{25}{147}\), а правая — \(\frac{3}{1^2} = 3\). Значения различны, значит, равенство 4) не является тождеством.
5) При \(x = 1\) обе части равенства определены: левая часть равна \(\frac{2}{4 \cdot 1^2 - 14 \cdot 1 + 49} = \frac{2}{39}\), а правая — \(\frac{2}{(2 \cdot 1 - 7)^2} = \frac{2}{25}\). Значения различны, значит, равенство 5) не является тождеством.
Ответ: тождествами являются равенства 1) \(2 - \frac{2x + 7}{x^2} = \frac{2x^2 - 2x - 7}{x^2}\) и 3) \(\frac{7x - 3}{5x - 2} - \frac{2x - 1}{5x - 2} = 1\).
