Страница 128 номер 665, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите все точки графика функции \(y=\frac{x^2-6x+7}{x-3}\) с целочисленными координатами.
При \(x = 3\) знаменатель обращается в нуль, поэтому \(x \neq 3\). Нужны целые \(x \neq 3\), при которых \(y\) — тоже целое число.
\(x^2 - 6x + 7 = (x^2 - 6x + 9) - 2 = (x - 3)^2 - 2\), поэтому \[y = \frac{(x - 3)^2 - 2}{x - 3} = x - 3 - \frac{2}{x - 3}.\] При целом \(x\) число \(x - 3\) целое, поэтому \(y\) целое тогда и только тогда, когда \(\frac{2}{x - 3}\) — целое число, то есть \(x - 3\) — делитель числа 2: \(-2\), \(-1\), \(1\) или \(2\), откуда \(x\) равно \(1\), \(2\), \(4\) или \(5\):
- \(x = 1\), \(y = \frac{1 - 6 + 7}{1 - 3} = \frac{2}{-2} = -1\);
- \(x = 2\), \(y = \frac{4 - 12 + 7}{2 - 3} = \frac{-1}{-1} = 1\);
- \(x = 4\), \(y = \frac{16 - 24 + 7}{4 - 3} = \frac{-1}{1} = -1\);
- \(x = 5\), \(y = \frac{25 - 30 + 7}{5 - 3} = \frac{2}{2} = 1\).
Ответ: \((1; -1)\), \((2; 1)\), \((4; -1)\) и \((5; 1)\).
Найдите все точки графика функции \(y=\frac{x^2-6x+7}{x-3}\) с целочисленными координатами.
Функция определена при \(x \neq 3\): при \(x = 3\) знаменатель обращается в нуль. Точка \((x; y)\) с целыми координатами принадлежит графику тогда и только тогда, когда \(x\) — целое число, отличное от 3, и значение \(y = \frac{x^2 - 6x + 7}{x - 3}\) — тоже целое число.
Выделим целую часть дроби, представив числитель через квадрат двучлена \(x - 3\): \(x^2 - 6x + 7 = (x^2 - 6x + 9) - 2 = (x - 3)^2 - 2\). Следовательно, \[y = \frac{(x - 3)^2 - 2}{x - 3} = x - 3 - \frac{2}{x - 3}.\] При целом \(x\) число \(x - 3\) целое, поэтому значение \(y\) целое тогда и только тогда, когда целым является число \(\frac{2}{x - 3}\), то есть когда \(x - 3\) — делитель числа 2: одно из чисел \(-2\), \(-1\), \(1\) или \(2\). Тогда \(x\) равно \(1\), \(2\), \(4\) или \(5\) соответственно. Найдём для них значения \(y\):
- \(x = 1\), \(y = \frac{1 - 6 + 7}{1 - 3} = \frac{2}{-2} = -1\);
- \(x = 2\), \(y = \frac{4 - 12 + 7}{2 - 3} = \frac{-1}{-1} = 1\);
- \(x = 4\), \(y = \frac{16 - 24 + 7}{4 - 3} = \frac{-1}{1} = -1\);
- \(x = 5\), \(y = \frac{25 - 30 + 7}{5 - 3} = \frac{2}{2} = 1\).
Ответ: \((1; -1)\), \((2; 1)\), \((4; -1)\) и \((5; 1)\).
