Страница 127 номер 646, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения \(\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b}\) при \(a=\sqrt{17}\), \(b=\sqrt{7}\).
Знаменатели \(a - b\) и \(a + b\) при этих значениях не равны нулю: \(\sqrt{17} > \sqrt{7}\) (из \(17 > 7\)) и \(\sqrt{17} + \sqrt{7} > 0\).
Общий знаменатель — \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\):
\[\begin{aligned} &\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a + b} = \frac{a(a + b) - b(a - b)}{(a - b)(a + b)} = {} \\ &= \frac{a^2 + ab - ab + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}. \end{aligned}\]
\(a^2 = (\sqrt{17})^2 = 17\);
\(b^2 = (\sqrt{7})^2 = 7\).
\[\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{17 + 7}{17 - 7} = \frac{24}{10} = 2{,}4.\]
Ответ: \(2{,}4\).
Найдите значение выражения \(\frac{a}{a-b}-\frac{b}{a+b}\) при \(a=\sqrt{17}\), \(b=\sqrt{7}\).
Значения \(a = \sqrt{17}\) и \(b = \sqrt{7}\) допустимы: знаменатели \(a - b\) и \(a + b\) при них не равны нулю, так как \(\sqrt{17} > \sqrt{7}\) (из \(17 > 7\)) и \(\sqrt{17} + \sqrt{7} > 0\).
Прежде чем подставлять эти значения, упростим выражение. Знаменатели дробей не имеют общих множителей, поэтому общий знаменатель — их произведение, которое по формуле разности квадратов равно \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\): \[\begin{aligned} &\frac{a}{a - b} - \frac{b}{a + b} = \frac{a(a + b) - b(a - b)}{(a - b)(a + b)} = {} \\ &= \frac{a^2 + ab - ab + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}. \end{aligned}\] Подставим \(a^2 = (\sqrt{17})^2 = 17\) и \(b^2 = (\sqrt{7})^2 = 7\): \[\frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{17 + 7}{17 - 7} = \frac{24}{10} = 2{,}4.\]
Ответ: \(2{,}4\).
