Страница 133 номер 668, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Найдите значение выражения \(\left(\frac{3m+4}{3m-4} - \frac{3m-4}{3m+4}\right) : \frac{8m}{9m+12}\) при \(m = \frac{1}{4}\).
При \(m = \frac{1}{4}\) знаменатели \(3m - 4 = -\frac{13}{4}\), \(3m + 4 = \frac{19}{4}\), \(9m + 12 = \frac{57}{4}\) и числитель \(8m = 2\) делителя не равны нулю — выражение имеет смысл.
Общий знаменатель — \((3m - 4)(3m + 4)\): \[\begin{aligned} &\frac{3m + 4}{3m - 4} - \frac{3m - 4}{3m + 4} = \frac{(3m + 4)^2 - (3m - 4)^2}{(3m - 4)(3m + 4)} = {} \\ &= \frac{9m^2 + 24m + 16 - 9m^2 + 24m - 16}{(3m - 4)(3m + 4)} = \frac{48m}{(3m - 4)(3m + 4)}. \end{aligned}\] \(9m + 12 = 3(3m + 4)\).
Сократим на \(8m(3m + 4)\): \[\begin{aligned} &\frac{48m}{(3m - 4)(3m + 4)} : \frac{8m}{9m + 12} = \frac{48m}{(3m - 4)(3m + 4)} \cdot \frac{3(3m + 4)}{8m} = {} \\ &= \frac{48m \cdot 3(3m + 4)}{(3m - 4)(3m + 4) \cdot 8m} = \frac{18}{3m - 4}. \end{aligned}\] При \(m = \frac{1}{4}\) знаменатель \(3m - 4\) равен \(-\frac{13}{4}\): \[\frac{18}{3m - 4} = 18 : \left(-\frac{13}{4}\right) = -\frac{18 \cdot 4}{13} = -\frac{72}{13}.\]
Ответ: \(-\frac{72}{13}\).
Найдите значение выражения \(\left(\frac{3m+4}{3m-4} - \frac{3m-4}{3m+4}\right) : \frac{8m}{9m+12}\) при \(m = \frac{1}{4}\).
При \(m = \frac{1}{4}\) знаменатели \(3m - 4 = -\frac{13}{4}\), \(3m + 4 = \frac{19}{4}\), \(9m + 12 = \frac{57}{4}\) и числитель \(8m = 2\) делителя не равны нулю, поэтому выражение имеет смысл.
Выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю \((3m - 4)(3m + 4)\); квадраты двучленов в числителе раскроем по формулам квадрата суммы и квадрата разности: \[\begin{aligned} &\frac{3m + 4}{3m - 4} - \frac{3m - 4}{3m + 4} = \frac{(3m + 4)^2 - (3m - 4)^2}{(3m - 4)(3m + 4)} = {} \\ &= \frac{9m^2 + 24m + 16 - 9m^2 + 24m - 16}{(3m - 4)(3m + 4)} = \frac{48m}{(3m - 4)(3m + 4)}. \end{aligned}\] Вынесем общий множитель за скобки: \(9m + 12 = 3(3m + 4)\). Разделим полученную дробь на \(\frac{8m}{9m + 12}\), умножив её на обратную дробь, и сократим результат на общий множитель \(8m(3m + 4)\): \[\begin{aligned} &\frac{48m}{(3m - 4)(3m + 4)} : \frac{8m}{9m + 12} = \frac{48m}{(3m - 4)(3m + 4)} \cdot \frac{3(3m + 4)}{8m} = {} \\ &= \frac{48m \cdot 3(3m + 4)}{(3m - 4)(3m + 4) \cdot 8m} = \frac{18}{3m - 4}. \end{aligned}\] Подставим \(m = \frac{1}{4}\) в получившееся выражение; знаменатель \(3m - 4\) при этом значении равен \(-\frac{13}{4}\): \[\frac{18}{3m - 4} = 18 : \left(-\frac{13}{4}\right) = -\frac{18 \cdot 4}{13} = -\frac{72}{13}.\]
Ответ: \(-\frac{72}{13}\).
