Страница 123 номер 638, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Решите уравнение: а) \((x-6)^2 = (x+1)^2\); б) \((x+5)(-x-8) = 0\); в) \(x^2 - 2x = 35\).
а) \[\begin{aligned} (x - 6)^2 &= (x + 1)^2; \\ x^2 - 12x + 36 &= x^2 + 2x + 1; \\ x^2 - 12x - x^2 - 2x &= 1 - 36; \\ -14x &= -35; \qquad | : (-14) \\ x &= 2{,}5. \end{aligned}\]
б) \(x + 5 = 0\) или \(-x - 8 = 0\), откуда \(x = -5\) или \(x = -8\).
в) \[\begin{aligned} x^2 - 2x &= 35; \\ x^2 - 2x - 35 &= 0; \\ D &= (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = -5; \\ x_2 &= \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(2{,}5\); б) \(-8\); \(-5\); в) \(-5\); \(7\).
Решите уравнение: а) \((x-6)^2 = (x+1)^2\); б) \((x+5)(-x-8) = 0\); в) \(x^2 - 2x = 35\).
а) Раскроем скобки по формулам квадрата разности и квадрата суммы, перенесём слагаемые с переменной в левую часть уравнения, а числа — в правую, и разделим обе части на \(-14\): \[\begin{aligned} (x - 6)^2 &= (x + 1)^2; \\ x^2 - 12x + 36 &= x^2 + 2x + 1; \\ x^2 - 12x - x^2 - 2x &= 1 - 36; \\ -14x &= -35; \qquad | : (-14) \\ x &= 2{,}5. \end{aligned}\]
б) Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю: \(x + 5 = 0\) или \(-x - 8 = 0\), откуда \(x = -5\) или \(x = -8\).
в) Перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и найдём дискриминант: \[\begin{aligned} x^2 - 2x &= 35; \\ x^2 - 2x - 35 &= 0; \\ D &= (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144. \end{aligned}\] Дискриминант положителен, значит, уравнение имеет два различных корня: \[\begin{aligned} x_1 &= \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = -5; \\ x_2 &= \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(2{,}5\); б) \(-8\); \(-5\); в) \(-5\); \(7\).
