Страница 133 номер 669, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Упростите выражение \(\frac{a^2-4}{2a^2+5} \cdot \left(\frac{4a+5}{a-2} + \frac{4a-5}{a+2}\right)\).
Общий знаменатель — \((a - 2)(a + 2)\):
\[\begin{aligned} &\frac{4a + 5}{a - 2} + \frac{4a - 5}{a + 2} = \frac{(4a + 5)(a + 2) + (4a - 5)(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} = {} \\ &= \frac{4a^2 + 8a + 5a + 10 + 4a^2 - 8a - 5a + 10}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{8a^2 + 20}{(a - 2)(a + 2)}. \end{aligned}\]
\(8a^2 + 20 = 4(2a^2 + 5)\);
\(a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)\).
Сократим на \((2a^2 + 5)(a - 2)(a + 2)\): \[\frac{a^2 - 4}{2a^2 + 5} \cdot \frac{4(2a^2 + 5)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{(a - 2)(a + 2) \cdot 4(2a^2 + 5)}{(2a^2 + 5)(a - 2)(a + 2)} = 4.\]
Ответ: \(4\).
Упростите выражение \(\frac{a^2-4}{2a^2+5} \cdot \left(\frac{4a+5}{a-2} + \frac{4a-5}{a+2}\right)\).
Выполним сложение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю \((a - 2)(a + 2)\): \[\begin{aligned} &\frac{4a + 5}{a - 2} + \frac{4a - 5}{a + 2} = \frac{(4a + 5)(a + 2) + (4a - 5)(a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} = {} \\ &= \frac{4a^2 + 8a + 5a + 10 + 4a^2 - 8a - 5a + 10}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{8a^2 + 20}{(a - 2)(a + 2)}. \end{aligned}\] Разложим на множители числитель полученной дроби и многочлен \(a^2 - 4\): \(8a^2 + 20 = 4(2a^2 + 5)\), \(a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)\). Выполним умножение и сократим получившуюся дробь на общий множитель \((2a^2 + 5)(a - 2)(a + 2)\): \[\frac{a^2 - 4}{2a^2 + 5} \cdot \frac{4(2a^2 + 5)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{(a - 2)(a + 2) \cdot 4(2a^2 + 5)}{(2a^2 + 5)(a - 2)(a + 2)} = 4.\]
Ответ: \(4\).
