Страница 123 номер 629, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выполните умножение: а) \(\frac{2a^2}{5b^2} \cdot \frac{4b^2-4ab}{3}\); б) \(\frac{x^2-8x}{x^2-49} \cdot \frac{x^2+7x}{x^2-64}\); в) \(\frac{4x^2-5x+1}{x^2+9x} \cdot \frac{x^2+8x-9}{4x^2+7x-2}\).
а) \(4b^2 - 4ab = 4b(b - a)\). \[\frac{2a^2}{5b^2} \cdot \frac{4b^2 - 4ab}{3} = \frac{2a^2 \cdot 4b(b - a)}{5b^2 \cdot 3} = \frac{8a^2(b - a)}{15b}.\]
б) \[\begin{aligned} x^2 - 8x &= x(x - 8); \\ x^2 - 49 &= (x - 7)(x + 7); \\ x^2 + 7x &= x(x + 7); \\ x^2 - 64 &= (x - 8)(x + 8). \end{aligned}\] Сократим дробь на общий множитель \((x - 8)(x + 7)\): \[\begin{aligned} &\frac{x^2 - 8x}{x^2 - 49} \cdot \frac{x^2 + 7x}{x^2 - 64} = \frac{x(x - 8) \cdot x(x + 7)}{(x - 7)(x + 7) \cdot (x - 8)(x + 8)} = {} \\ &= \frac{x^2}{(x - 7)(x + 8)}. \end{aligned}\]
в) \(x^2 + 9x = x(x + 9)\).
У уравнения \(4x^2 - 5x + 1 = 0\) дискриминант \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9\), корни — \(x_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}\) и \(x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = 1\). Следовательно, \(4x^2 - 5x + 1 = 4\left(x - \frac{1}{4}\right)(x - 1) = (4x - 1)(x - 1)\).
У уравнения \(x^2 + 8x - 9 = 0\) дискриминант \(D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 100\), корни — \(x_1 = \frac{-8 - 10}{2} = -9\) и \(x_2 = \frac{-8 + 10}{2} = 1\). Следовательно, \(x^2 + 8x - 9 = (x + 9)(x - 1)\).
У уравнения \(4x^2 + 7x - 2 = 0\) дискриминант \(D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 81\), корни — \(x_1 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 4} = -2\) и \(x_2 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}\). Следовательно, \(4x^2 + 7x - 2 = 4(x + 2)\left(x - \frac{1}{4}\right) = (x + 2)(4x - 1)\).
\[\begin{aligned} &\frac{4x^2 - 5x + 1}{x^2 + 9x} \cdot \frac{x^2 + 8x - 9}{4x^2 + 7x - 2} = {} \\ &= \frac{(4x - 1)(x - 1) \cdot (x + 9)(x - 1)}{x(x + 9) \cdot (x + 2)(4x - 1)} = \frac{(x - 1)^2}{x(x + 2)}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{8a^2(b - a)}{15b}\); б) \(\frac{x^2}{(x - 7)(x + 8)}\); в) \(\frac{(x - 1)^2}{x(x + 2)}\).
Выполните умножение: а) \(\frac{2a^2}{5b^2} \cdot \frac{4b^2-4ab}{3}\); б) \(\frac{x^2-8x}{x^2-49} \cdot \frac{x^2+7x}{x^2-64}\); в) \(\frac{4x^2-5x+1}{x^2+9x} \cdot \frac{x^2+8x-9}{4x^2+7x-2}\).
а) Вынесем в числителе второй дроби общий множитель \(4b\) за скобки: \(4b^2 - 4ab = 4b(b - a)\). Выполним умножение и сократим получившуюся дробь на общий множитель \(b\): \[\frac{2a^2}{5b^2} \cdot \frac{4b^2 - 4ab}{3} = \frac{2a^2 \cdot 4b(b - a)}{5b^2 \cdot 3} = \frac{8a^2(b - a)}{15b}.\]
б) Разложим на множители числители и знаменатели дробей: \[\begin{aligned} x^2 - 8x &= x(x - 8); \\ x^2 - 49 &= (x - 7)(x + 7); \\ x^2 + 7x &= x(x + 7); \\ x^2 - 64 &= (x - 8)(x + 8). \end{aligned}\] Выполним умножение и сократим получившуюся дробь на общий множитель \((x - 8)(x + 7)\): \[\begin{aligned} &\frac{x^2 - 8x}{x^2 - 49} \cdot \frac{x^2 + 7x}{x^2 - 64} = \frac{x(x - 8) \cdot x(x + 7)}{(x - 7)(x + 7) \cdot (x - 8)(x + 8)} = {} \\ &= \frac{x^2}{(x - 7)(x + 8)}. \end{aligned}\]
в) Разложим на множители числители и знаменатели дробей. В знаменателе первой дроби вынесем общий множитель за скобки: \(x^2 + 9x = x(x + 9)\). Квадратные трёхчлены разложим по их корням: если \(x_1\) и \(x_2\) — корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), то \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\).
У уравнения \(4x^2 - 5x + 1 = 0\) дискриминант \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9\), корни — \(x_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}\) и \(x_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = 1\). Следовательно, \(4x^2 - 5x + 1 = 4\left(x - \frac{1}{4}\right)(x - 1) = (4x - 1)(x - 1)\).
У уравнения \(x^2 + 8x - 9 = 0\) дискриминант \(D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 100\), корни — \(x_1 = \frac{-8 - 10}{2} = -9\) и \(x_2 = \frac{-8 + 10}{2} = 1\). Следовательно, \(x^2 + 8x - 9 = (x + 9)(x - 1)\).
У уравнения \(4x^2 + 7x - 2 = 0\) дискриминант \(D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 81\), корни — \(x_1 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 4} = -2\) и \(x_2 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}\). Следовательно, \(4x^2 + 7x - 2 = 4(x + 2)\left(x - \frac{1}{4}\right) = (x + 2)(4x - 1)\).
Выполним умножение и сократим получившуюся дробь на общий множитель \((4x - 1)(x + 9)\): \[\begin{aligned} &\frac{4x^2 - 5x + 1}{x^2 + 9x} \cdot \frac{x^2 + 8x - 9}{4x^2 + 7x - 2} = {} \\ &= \frac{(4x - 1)(x - 1) \cdot (x + 9)(x - 1)}{x(x + 9) \cdot (x + 2)(4x - 1)} = \frac{(x - 1)^2}{x(x + 2)}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(\frac{8a^2(b - a)}{15b}\); б) \(\frac{x^2}{(x - 7)(x + 8)}\); в) \(\frac{(x - 1)^2}{x(x + 2)}\).
