Страница 127 номер 651, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Сократите дробь: а) \(\frac{6x^2+11x+3}{9x^2-1}\); б) \(\frac{4x^2-9x+2}{x^2-9x+14}\).
а) Корни уравнения \(6x^2 + 11x + 3 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 - 72 = 49; \\ x_1 &= \frac{-11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-11 - 7}{12} = -\frac{3}{2}; \\ x_2 &= \frac{-11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-11 + 7}{12} = -\frac{1}{3}. \end{aligned}\] Следовательно, \[6x^2 + 11x + 3 = 6\left(x + \frac{3}{2}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right) = (2x + 3)(3x + 1).\] \(9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1)\).
Сократим дробь на общий множитель \(3x + 1\): \[\frac{6x^2 + 11x + 3}{9x^2 - 1} = \frac{(2x + 3)(3x + 1)}{(3x - 1)(3x + 1)} = \frac{2x + 3}{3x - 1}.\]
б) Корни уравнения \(4x^2 - 9x + 2 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49; \\ x_1 &= \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 - 7}{8} = \frac{1}{4}; \\ x_2 &= \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + 7}{8} = 2. \end{aligned}\] Следовательно, \[4x^2 - 9x + 2 = 4\left(x - \frac{1}{4}\right)(x - 2).\] Корни уравнения \(x^2 - 9x + 14 = 0\) — числа 2 и 7: \(2 + 7 = 9\), \(2 \cdot 7 = 14\). Следовательно, \[x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7).\] Сократим дробь на общий множитель \(x - 2\): \[\frac{4x^2 - 9x + 2}{x^2 - 9x + 14} = \frac{4\left(x - \frac{1}{4}\right)(x - 2)}{(x - 2)(x - 7)} = \frac{4\left(x - \frac{1}{4}\right)}{x - 7} = \frac{4x - 1}{x - 7}.\]
Ответ: а) \(\frac{2x + 3}{3x - 1}\); б) \(\frac{4x - 1}{x - 7}\).
Сократите дробь: а) \(\frac{6x^2+11x+3}{9x^2-1}\); б) \(\frac{4x^2-9x+2}{x^2-9x+14}\).
а) Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Корни уравнения \(6x^2 + 11x + 3 = 0\): \[\begin{aligned} D &= 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot 3 = 121 - 72 = 49; \\ x_1 &= \frac{-11 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-11 - 7}{12} = -\frac{3}{2}; \\ x_2 &= \frac{-11 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{-11 + 7}{12} = -\frac{1}{3}. \end{aligned}\] Следовательно, \[6x^2 + 11x + 3 = 6\left(x + \frac{3}{2}\right)\left(x + \frac{1}{3}\right) = (2x + 3)(3x + 1).\] Знаменатель разложим по формуле разности квадратов: \(9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1)\).
В разложении числителя и знаменателя на множители присутствует общий множитель \(3x + 1\). Сократим на него исходную дробь: \[\frac{6x^2 + 11x + 3}{9x^2 - 1} = \frac{(2x + 3)(3x + 1)}{(3x - 1)(3x + 1)} = \frac{2x + 3}{3x - 1}.\]
б) Разложим на множители числитель и знаменатель дроби. Корни уравнения \(4x^2 - 9x + 2 = 0\): \[\begin{aligned} D &= (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49; \\ x_1 &= \frac{9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 - 7}{8} = \frac{1}{4}; \\ x_2 &= \frac{9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + 7}{8} = 2. \end{aligned}\] Следовательно, \[4x^2 - 9x + 2 = 4\left(x - \frac{1}{4}\right)(x - 2).\] Корнями уравнения \(x^2 - 9x + 14 = 0\) по теореме, обратной теореме Виета, являются числа 2 и 7: \(2 + 7 = 9\), \(2 \cdot 7 = 14\). Следовательно, \[x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7).\] В разложении числителя и знаменателя на множители присутствует общий множитель \(x - 2\). Сократим на него исходную дробь: \[\frac{4x^2 - 9x + 2}{x^2 - 9x + 14} = \frac{4\left(x - \frac{1}{4}\right)(x - 2)}{(x - 2)(x - 7)} = \frac{4\left(x - \frac{1}{4}\right)}{x - 7} = \frac{4x - 1}{x - 7}.\]
Ответ: а) \(\frac{2x + 3}{3x - 1}\); б) \(\frac{4x - 1}{x - 7}\).
