Темы исследовательских работ на странице 127, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Алгебраические дроби в книге Диофанта «Арифметика».
План доклада:
1. «Арифметика» и её ответы.
2. Названия обратных величин.
3. Дроби с многочленами.
4. Квадрат как сумма двух квадратов.
5. От частного решения к общей формуле.
Презентация к докладу: «Алгебраические дроби в книге Диофанта „Арифметика“», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. «Арифметика» и её ответы. «Арифметика» Диофанта — сборник задач в 13 книгах (дошли шесть греческих книг и четыре в арабском переводе). Ответы — положительные рациональные, часто дробные числа, поэтому делить приходится и числа, и выражения с неизвестным.
2. Названия обратных величин. Величины, обратные неизвестному («аритмос» — «число») и его квадрату («дюнамис»), Диофант называл «аритмостон» (\(\frac{1}{x}\)) и «дюнамостон» (\(\frac{1}{x^2}\)). Во введении сказано, что \(x \cdot \frac{1}{x} = 1\), \(x^2 \cdot \frac{1}{x^2} = 1\); сейчас это частный случай правила о произведении дроби и обратной ей дроби.
3. Дроби с многочленами. Если числитель и знаменатель — выражения из нескольких членов с неизвестным и его степенями, Диофант писал в строку числитель, слова «в части» и знаменатель. В задаче 12 книги VI встречается (в современной записи) \[\frac{60x^2 + 2520}{x^4 + 900 - 60x^2}.\] Это рациональная дробь: числитель и знаменатель — многочлены, знаменатель ненулевой. Термин «алгебраическая дробь» — современный.
4. Квадрат как сумма двух квадратов. Задача 8 книги II: данный квадрат разложить на два квадрата. Для квадрата 16 Диофант берёт первый квадрат \(x^2\), второй \(16 - x^2\) и сторону второго \(2x - 4\) (4 — сторона квадрата 16): \[\begin{aligned} (2x - 4)^2 &= 16 - x^2; \\ 4x^2 - 16x + 16 &= 16 - x^2; \\ 5x^2 &= 16x. \end{aligned}\] Так как \(x \neq 0\), получаем \(5x = 16\) и \(x = \frac{16}{5}\). Первый квадрат равен \(\frac{256}{25}\), сторона второго — \(2 \cdot \frac{16}{5} - 4 = \frac{12}{5}\), сам он — \(\frac{144}{25}\); \(\frac{256}{25} + \frac{144}{25} = \frac{400}{25} = 16\). На полях этой задачи Ферма записал свою Великую теорему.
5. От частного решения к общей формуле. Если вместо 2 взять любое \(k\), сторона второго квадрата — \(kx - 4\), и то же рассуждение даёт \((k^2 + 1)x^2 = 8kx\), откуда \[x = \frac{8k}{k^2 + 1}, \qquad kx - 4 = \frac{8k^2}{k^2 + 1} - 4 = \frac{4(k^2 - 1)}{k^2 + 1}.\] Диофант таких формул не писал, но его приём годится при любом рациональном \(k > 1\): при \(k = 4\) стороны квадратов — \(\frac{32}{17}\) и \(\frac{60}{17}\). Ответ — алгебраические дроби, и правила действий с ними позволяют проверить его сразу для всех \(k\): \(64k^2 + 16(k^2 - 1)^2 = 16(k^4 + 2k^2 + 1) = 16(k^2 + 1)^2\), поэтому \[\begin{aligned} &\left(\frac{8k}{k^2 + 1}\right)^2 + \left(\frac{4(k^2 - 1)}{k^2 + 1}\right)^2 = \frac{64k^2 + 16(k^2 - 1)^2}{(k^2 + 1)^2} = {} \\ &= \frac{16(k^2 + 1)^2}{(k^2 + 1)^2} = 16. \end{aligned}\]
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что в «Арифметике» Диофанта уже встречаются выражения, которые сейчас называют алгебраическими, или рациональными, дробями: величины, обратные степеням неизвестного, получили собственные названия, а дроби с многочленами в числителе и знаменателе записывались через слова «в части». Ответы задач у Диофанта — положительные рациональные, часто дробные числа, найденные при конкретных данных. Если в его приёме заменить число буквой, ответ становится алгебраической дробью, как в задаче о разложении квадрата на два квадрата, а правила действий с рациональными дробями позволяют проверить такой ответ сразу для всех допустимых значений буквы.
Алгебраические дроби в книге Диофанта «Арифметика».
План доклада:
1. «Арифметика» и её ответы.
2. Названия обратных величин.
3. Дроби с многочленами.
4. Квадрат как сумма двух квадратов.
5. От частного решения к общей формуле.
Презентация к докладу: «Алгебраические дроби в книге Диофанта „Арифметика“», 7 слайдов (.pptx)
Основное содержание.
1. «Арифметика» и её ответы. «Арифметика» древнегреческого математика Диофанта Александрийского — сборник задач с решениями в 13 книгах. До нас дошли шесть книг на греческом языке и ещё четыре — в арабском переводе, рукопись которого нашли только в XX веке. В каждой задаче нужно найти числа, удовлетворяющие условиям, и ответами служат положительные рациональные числа: дробный ответ для Диофанта так же обычен, как целый. Сейчас диофантовыми чаще называют уравнения, решения которых ищут в целых числах, но это позднейший смысл слова. Раз ответы бывают дробными, в «Арифметике» постоянно приходится делить — и числа, и выражения с неизвестным.
2. Названия обратных величин. Неизвестное Диофант называл «аритмос» («число»), его квадрат — «дюнамис» и обозначал их особыми знаками. Величинам, обратным степеням неизвестного, он дал названия, образованные от названий степеней: \(\frac{1}{x}\) — «аритмостон», \(\frac{1}{x^2}\) — «дюнамостон»; такие названия были и для следующих степеней. Во введении к «Арифметике» сказано, что произведение степени неизвестного и обратной ей величины равно единице: \(x \cdot \frac{1}{x} = 1\), \(x^2 \cdot \frac{1}{x^2} = 1\). Сейчас это частный случай правила: произведение дроби и обратной ей дроби равно 1. Там же сформулировано правило знаков: вычитаемое, умноженное на вычитаемое, даёт прибавляемое, а вычитаемое, умноженное на прибавляемое, — вычитаемое. Речь в нём идёт о вычитаемых членах выражений вроде \(2x - 4\), а не об отрицательных числах.
3. Дроби с многочленами. Если числитель и знаменатель — выражения из нескольких членов с неизвестным и его степенями, Диофант записывал в строку числитель, затем слова «в части» (по-гречески ἐν μορίῳ) и знаменатель. Так, в задаче 12 книги VI встречается выражение, которое в современной записи выглядит так: \[\frac{60x^2 + 2520}{x^4 + 900 - 60x^2}.\] Вычитаемый член \(60x^2\) стоит в конце знаменателя, потому что Диофант записывал все вычитаемые члены вместе, после знака вычитания. Числитель и знаменатель здесь — многочлены, причём знаменатель ненулевой, то есть это рациональная дробь; её знаменатель — квадрат двучлена: \(x^4 - 60x^2 + 900 = (x^2 - 30)^2\). Названия «алгебраическая дробь» у Диофанта нет: это современный термин, наряду с ним говорят «рациональная дробь».
4. Квадрат как сумма двух квадратов. Задача 8 книги II: данный квадрат разложить на два квадрата. Диофант берёт квадрат 16. Пусть первый искомый квадрат равен \(x^2\), тогда второй равен \(16 - x^2\). Сторону второго квадрата Диофант ищет в виде разности: какое-нибудь число неизвестных без 4, где 4 — сторона квадрата 16. Он берёт \(2x - 4\): \[\begin{aligned} (2x - 4)^2 &= 16 - x^2; \\ 4x^2 - 16x + 16 &= 16 - x^2; \\ 5x^2 &= 16x. \end{aligned}\] Так как \(x \neq 0\), получаем \(5x = 16\) и \(x = \frac{16}{5}\). Первый квадрат равен \(\frac{256}{25}\), сторона второго — \(2 \cdot \frac{16}{5} - 4 = \frac{12}{5}\), а сам он равен \(\frac{144}{25}\). Проверка: \(\frac{256}{25} + \frac{144}{25} = \frac{400}{25} = 16\). На полях именно этой задачи Пьер Ферма записал утверждение, известное как Великая теорема Ферма.
5. От частного решения к общей формуле. Если вместо 2 взять любое число \(k\), сторона второго квадрата равна \(kx - 4\), и то же рассуждение даёт \((k^2 + 1)x^2 = 8kx\), откуда \[x = \frac{8k}{k^2 + 1}, \qquad kx - 4 = \frac{8k^2}{k^2 + 1} - 4 = \frac{4(k^2 - 1)}{k^2 + 1}.\] Диофант таких формул не писал: он решал задачу при конкретном числе. Но его приём годится при любом рациональном \(k > 1\) и даёт бесконечно много разложений: при \(k = 2\) стороны квадратов равны \(\frac{16}{5}\) и \(\frac{12}{5}\), при \(k = 4\) — \(\frac{32}{17}\) и \(\frac{60}{17}\). Общий ответ — алгебраические дроби, и правила действий с ними позволяют проверить его сразу для всех \(k\). Так как \(64k^2 + 16(k^2 - 1)^2 = 16(k^4 + 2k^2 + 1) = 16(k^2 + 1)^2\), получаем \[\begin{aligned} &\left(\frac{8k}{k^2 + 1}\right)^2 + \left(\frac{4(k^2 - 1)}{k^2 + 1}\right)^2 = \frac{64k^2 + 16(k^2 - 1)^2}{(k^2 + 1)^2} = {} \\ &= \frac{16(k^2 + 1)^2}{(k^2 + 1)^2} = 16. \end{aligned}\]
Резюме: Подводя итоги, можно сказать, что в «Арифметике» Диофанта уже встречаются выражения, которые сейчас называют алгебраическими, или рациональными, дробями: величины, обратные степеням неизвестного, получили собственные названия, а дроби с многочленами в числителе и знаменателе записывались через слова «в части». Ответы задач у Диофанта — положительные рациональные, часто дробные числа, найденные при конкретных данных. Если в его приёме заменить число буквой, ответ становится алгебраической дробью, как в задаче о разложении квадрата на два квадрата, а правила действий с рациональными дробями позволяют проверить такой ответ сразу для всех допустимых значений буквы.
