Страница 128 номер 657, ГДЗ по алгебре за 8 класс к учебнику Семенова углубленный уровень
Выполните деление: а) \(\frac{9x^2-1}{x-3}:\frac{3x-1}{x^2-9}\); б) \(\frac{x^2-10x+21}{x^2-12x+32}:\frac{x-7}{x^2-11x+24}\); в) \(\left(\frac{x^2}{9x+20}+1\right):\frac{x+4}{9x+20}\).
а)
\[\frac{9x^2 - 1}{x - 3} : \frac{3x - 1}{x^2 - 9} = \frac{9x^2 - 1}{x - 3} \cdot \frac{x^2 - 9}{3x - 1} = \frac{(9x^2 - 1)(x^2 - 9)}{(x - 3)(3x - 1)}.\]
\(9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1)\);
\(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\).
\[\begin{aligned} &\frac{(9x^2 - 1)(x^2 - 9)}{(x - 3)(3x - 1)} = \frac{(3x - 1)(3x + 1)(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(3x - 1)} = {} \\ &= (3x + 1)(x + 3) = 3x^2 + 10x + 3. \end{aligned}\]
б) Корни уравнения \(x^2 - 10x + 21 = 0\) — числа 3 и 7: \(3 + 7 = 10\), \(3 \cdot 7 = 21\).
Корни уравнения \(x^2 - 12x + 32 = 0\) — числа 4 и 8: \(4 + 8 = 12\), \(4 \cdot 8 = 32\).
Корни уравнения \(x^2 - 11x + 24 = 0\) — числа 3 и 8: \(3 + 8 = 11\), \(3 \cdot 8 = 24\).
Следовательно, \[\begin{aligned} x^2 - 10x + 21 &= (x - 3)(x - 7); \\ x^2 - 12x + 32 &= (x - 4)(x - 8); \\ x^2 - 11x + 24 &= (x - 3)(x - 8). \end{aligned}\] Умножим первую дробь на дробь, обратную второй: \[\begin{aligned} &\frac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 12x + 32} : \frac{x - 7}{x^2 - 11x + 24} = {} \\ &= \frac{(x - 3)(x - 7)}{(x - 4)(x - 8)} \cdot \frac{(x - 3)(x - 8)}{x - 7} = {} \\ &= \frac{(x - 3)(x - 7) \cdot (x - 3)(x - 8)}{(x - 4)(x - 8) \cdot (x - 7)} = \frac{(x - 3)^2}{x - 4}. \end{aligned}\]
в) \[\frac{x^2}{9x + 20} + 1 = \frac{x^2}{9x + 20} + \frac{9x + 20}{9x + 20} = \frac{x^2 + 9x + 20}{9x + 20}.\] Корни уравнения \(x^2 + 9x + 20 = 0\) — числа \(-5\) и \(-4\): их сумма равна \(-9\), а произведение равно 20. Следовательно, \(x^2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)\).
Сократим дробь на \((x + 4)(9x + 20)\): \[\begin{aligned} &\left(\frac{x^2}{9x + 20} + 1\right) : \frac{x + 4}{9x + 20} = \frac{(x + 4)(x + 5)}{9x + 20} \cdot \frac{9x + 20}{x + 4} = {} \\ &= \frac{(x + 4)(x + 5)(9x + 20)}{(9x + 20)(x + 4)} = x + 5. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(3x^2 + 10x + 3\); б) \(\frac{(x - 3)^2}{x - 4}\); в) \(x + 5\).
Выполните деление: а) \(\frac{9x^2-1}{x-3}:\frac{3x-1}{x^2-9}\); б) \(\frac{x^2-10x+21}{x^2-12x+32}:\frac{x-7}{x^2-11x+24}\); в) \(\left(\frac{x^2}{9x+20}+1\right):\frac{x+4}{9x+20}\).
а) Умножим первую дробь на дробь, обратную второй: \[\frac{9x^2 - 1}{x - 3} : \frac{3x - 1}{x^2 - 9} = \frac{9x^2 - 1}{x - 3} \cdot \frac{x^2 - 9}{3x - 1} = \frac{(9x^2 - 1)(x^2 - 9)}{(x - 3)(3x - 1)}.\] Поскольку \(9x^2 - 1 = (3x - 1)(3x + 1)\) и \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\), получаем, что \[\begin{aligned} &\frac{(9x^2 - 1)(x^2 - 9)}{(x - 3)(3x - 1)} = \frac{(3x - 1)(3x + 1)(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(3x - 1)} = {} \\ &= (3x + 1)(x + 3) = 3x^2 + 10x + 3. \end{aligned}\]
б) Разложим трёхчлены на множители. По теореме, обратной теореме Виета, корнями уравнения \(x^2 - 10x + 21 = 0\) являются числа 3 и 7 (\(3 + 7 = 10\), \(3 \cdot 7 = 21\)), уравнения \(x^2 - 12x + 32 = 0\) — числа 4 и 8 (\(4 + 8 = 12\), \(4 \cdot 8 = 32\)), уравнения \(x^2 - 11x + 24 = 0\) — числа 3 и 8 (\(3 + 8 = 11\), \(3 \cdot 8 = 24\)). Следовательно, \[\begin{aligned} x^2 - 10x + 21 &= (x - 3)(x - 7); \\ x^2 - 12x + 32 &= (x - 4)(x - 8); \\ x^2 - 11x + 24 &= (x - 3)(x - 8). \end{aligned}\] Умножим первую дробь на дробь, обратную второй, и сократим получившуюся дробь на \((x - 7)(x - 8)\): \[\begin{aligned} &\frac{x^2 - 10x + 21}{x^2 - 12x + 32} : \frac{x - 7}{x^2 - 11x + 24} = {} \\ &= \frac{(x - 3)(x - 7)}{(x - 4)(x - 8)} \cdot \frac{(x - 3)(x - 8)}{x - 7} = {} \\ &= \frac{(x - 3)(x - 7) \cdot (x - 3)(x - 8)}{(x - 4)(x - 8) \cdot (x - 7)} = \frac{(x - 3)^2}{x - 4}. \end{aligned}\]
в) Выполним сложение в скобках, представив 1 в виде дроби со знаменателем \(9x + 20\): \[\frac{x^2}{9x + 20} + 1 = \frac{x^2}{9x + 20} + \frac{9x + 20}{9x + 20} = \frac{x^2 + 9x + 20}{9x + 20}.\] Корнями уравнения \(x^2 + 9x + 20 = 0\) по теореме, обратной теореме Виета, являются числа \(-5\) и \(-4\): их сумма равна \(-9\), а произведение равно 20. Следовательно, \(x^2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5)\).
Умножим получившуюся дробь на дробь, обратную делителю, и сократим на \((x + 4)(9x + 20)\): \[\begin{aligned} &\left(\frac{x^2}{9x + 20} + 1\right) : \frac{x + 4}{9x + 20} = \frac{(x + 4)(x + 5)}{9x + 20} \cdot \frac{9x + 20}{x + 4} = {} \\ &= \frac{(x + 4)(x + 5)(9x + 20)}{(9x + 20)(x + 4)} = x + 5. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(3x^2 + 10x + 3\); б) \(\frac{(x - 3)^2}{x - 4}\); в) \(x + 5\).
