Вопросы после параграфа §78 на странице 80, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 2

В этом опыте из фигуры \(F\), имеющей ненулевую площадь, выбирают одну случайную точку. Элементарные события — точки фигуры \(F\): их бесконечно много, и вероятность выбрать каждую конкретную точку равна нулю, хотя такое событие не является невозможным. Рассматривают события вида «выбранная точка принадлежит фигуре \(G\)», где фигура \(G\) содержится в фигуре \(F\). Событие и соответствующую ему фигуру называют одинаково: событие \(G\) — это и есть фигура \(G\). Например, если точку выбирают из квадрата, то событие «точка принадлежит левой половине квадрата» — это прямоугольник, составляющий левую половину квадрата. Событие \(F\) «точка принадлежит фигуре \(F\)» достоверное: \(P(F) = 1\).

Ответ: события «выбранная точка принадлежит фигуре \(G\)», где фигура \(G\) содержится в фигуре \(F\), из которой выбирают точку; событие и соответствующую ему фигуру называют одинаково.

Пусть все точки данной фигуры \(F\) имеют равные шансы быть выбранными, а фигура \(G\) содержится в фигуре \(F\). Вероятность события «выбранная точка принадлежит фигуре \(G\)» зависит только от площади фигуры \(G\) и прямо пропорциональна этой площади. От расположения фигуры \(G\) внутри фигуры \(F\) и от формы фигуры \(G\) эта вероятность не зависит. Например, если точку выбирают из квадрата со стороной 4, то квадрат со стороной 1 в углу и прямоугольник со сторонами 2 и \(0{,}5\) в середине имеют одинаковую площадь 1, поэтому вероятности попасть в них одинаковы.

Ответ: вероятность прямо пропорциональна площади фигуры, в которую должна попасть точка, и не зависит от расположения и формы этой фигуры.

Пусть точку выбирают из фигуры \(F\) случайным образом, то есть все точки фигуры \(F\) имеют равные шансы, и площадь фигуры \(F\) больше нуля. Тогда вероятность события \(G\) «выбранная точка принадлежит фигуре \(G\)» равна отношению площадей (правило вычисления геометрической вероятности): \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}}\), где \(S_{F}\) и \(S_{G}\) — площади фигур \(F\) и \(G\) соответственно.

Ответ: \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}}\), где \(S_{F}\) и \(S_{G}\) — площади фигур \(F\) и \(G\).

Фигура \(F\), из которой выбирают точку, — квадрат \(ABCD\), событие — треугольник \(ABC\). Диагональ \(AC\) делит квадрат на два равных треугольника \(ABC\) и \(CDA\), поэтому \(S_{ABC} = \frac{1}{2}S_{ABCD}\). Точку выбирают наудачу: все точки квадрата имеют равные шансы. По правилу вычисления геометрической вероятности

\[P(ABC) = \frac{S_{ABC}}{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.\]

Ответ: \(\frac{1}{2}\).