Страница 73 номер 223, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Найдите: а) \(C_{18}^{16}\); б) \(C_{36}^{34}\); в) \(C_{2022}^{2020}\); г) \(C_{n}^{n - 2}\).
а) \[C_{18}^{16} = C_{18}^{2} = \frac{18!}{2! \cdot 16!} = \frac{18 \cdot 17}{1 \cdot 2} = 153.\]
б) \[C_{36}^{34} = C_{36}^{2} = \frac{36 \cdot 35}{1 \cdot 2} = 630.\]
в) \[C_{2022}^{2020} = C_{2022}^{2} = \frac{2022 \cdot 2021}{1 \cdot 2} = 1011 \cdot 2021 = 2\,043\,231.\]
г) Здесь \(n \geqslant 2\), иначе верхний индекс \(n - 2\) отрицателен: \[C_{n}^{n - 2} = C_{n}^{2} = \frac{n!}{2! \cdot (n - 2)!} = \frac{n(n - 1)}{1 \cdot 2} = \frac{n(n - 1)}{2}.\]
Ответ: а) 153; б) 630; в) \(2\,043\,231\); г) \(\frac{n(n - 1)}{2}\).
Найдите: а) \(C_{18}^{16}\); б) \(C_{36}^{34}\); в) \(C_{2022}^{2020}\); г) \(C_{n}^{n - 2}\).
Во всех пунктах верхний индекс на 2 меньше нижнего. По свойству симметричности \(C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}\) такое число сочетаний равно \(C_{n}^{2}\), а его находим по формуле \(C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}\).
а) \[C_{18}^{16} = C_{18}^{2} = \frac{18!}{2! \cdot 16!} = \frac{18 \cdot 17}{1 \cdot 2} = 153.\]
б) \[C_{36}^{34} = C_{36}^{2} = \frac{36 \cdot 35}{1 \cdot 2} = 630.\]
в) \[C_{2022}^{2020} = C_{2022}^{2} = \frac{2022 \cdot 2021}{1 \cdot 2} = 1011 \cdot 2021 = 2\,043\,231.\]
г) Здесь \(n \geqslant 2\), иначе верхний индекс \(n - 2\) отрицателен: \[C_{n}^{n - 2} = C_{n}^{2} = \frac{n!}{2! \cdot (n - 2)!} = \frac{n(n - 1)}{1 \cdot 2} = \frac{n(n - 1)}{2}.\]
Ответ: а) 153; б) 630; в) \(2\,043\,231\); г) \(\frac{n(n - 1)}{2}\).
