Страница 80 номер 240, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Внутри треугольника \(ABC\) случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка попала в треугольник \(ABM\), где \(AM\) — медиана треугольника \(ABC\).
Фигура \(F\), из которой выбирают точку, — треугольник \(ABC\), событие — треугольник \(ABM\).
Медиана \(AM\) делит сторону \(BC\) пополам: \(BM = \frac{1}{2}BC\).
Высота \(AH\) треугольника \(ABC\), проведённая к стороне \(BC\), является и высотой треугольника \(ABM\), поэтому \(S_{ABM} = \frac{1}{2}BM \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}BC \cdot AH = \frac{1}{2}S_{ABC}\).
Точка выбирается случайным образом: все точки треугольника \(ABC\) имеют равные шансы, поэтому
\[P(ABM) = \frac{S_{ABM}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\]
Ответ: \(\frac{1}{2}\).
Внутри треугольника \(ABC\) случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка попала в треугольник \(ABM\), где \(AM\) — медиана треугольника \(ABC\).
Фигура \(F\), из которой выбирают точку, — треугольник \(ABC\). Событие «точка попала в треугольник \(ABM\)» обозначим так же, как фигуру, — \(ABM\).
Медиана \(AM\) делит сторону \(BC\) пополам: \(BM = \frac{1}{2}BC\). Высота \(AH\) треугольника \(ABC\), проведённая к стороне \(BC\), является и высотой треугольника \(ABM\), проведённой к стороне \(BM\). Поэтому \(S_{ABM} = \frac{1}{2}BM \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}BC \cdot AH = \frac{1}{2}S_{ABC}\).
Точка выбирается случайным образом: все точки треугольника \(ABC\) имеют равные шансы. По правилу вычисления геометрической вероятности
\[P(ABM) = \frac{S_{ABM}}{S_{ABC}} = \frac{1}{2}.\]
Ответ: \(\frac{1}{2}\).
