Страница 80 номер 241, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Из прямоугольника случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность события: а) «точка принадлежит ромбу, вершинами которого служат середины сторон прямоугольника»; б) «точка принадлежит треугольнику, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей».
Фигура \(F\), из которой выбирают точку, — прямоугольник \(ABCD\) со сторонами \(AB = a\), \(AD = b\): \(S_{F} = ab\). Точка выбирается случайным образом: все точки прямоугольника имеют равные шансы, поэтому \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}}\).
а) Пусть \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) — середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\); ромб — \(KLMN\). Его диагонали соединяют середины противоположных сторон прямоугольника: \(KM = AD = b\), \(LN = AB = a\).
\(S_{KLMN} = \frac{1}{2}KM \cdot LN = \frac{ab}{2}\).
\[P(KLMN) = \frac{S_{KLMN}}{S_{F}} = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}.\]
б) Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей прямоугольника; для соседних вершин \(A\) и \(B\) треугольник — \(AOB\). Точка \(O\) — середина диагонали \(BD\), поэтому она удалена от прямой \(AB\) на \(\frac{b}{2}\): \(S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4}\).
Для другой пары соседних вершин, например \(B\) и \(C\), площадь та же: \(S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{a}{2} = \frac{ab}{4}\). Поэтому вероятность не зависит от того, какие две соседние вершины взяты:
\[P(AOB) = \frac{S_{AOB}}{S_{F}} = \frac{ab}{4ab} = \frac{1}{4}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{2}\); б) \(\frac{1}{4}\).
Из прямоугольника случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность события: а) «точка принадлежит ромбу, вершинами которого служат середины сторон прямоугольника»; б) «точка принадлежит треугольнику, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей».
Обозначим прямоугольник \(ABCD\), его стороны \(AB = a\), \(AD = b\). Фигура \(F\), из которой выбирают точку, — прямоугольник \(ABCD\), \(S_{F} = ab\). Точка выбирается случайным образом: все точки прямоугольника имеют равные шансы, поэтому вероятность каждого события \(G\) находим по правилу вычисления геометрической вероятности \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}}\).
а) Пусть \(K\), \(L\), \(M\), \(N\) — середины сторон \(AB\), \(BC\), \(CD\), \(DA\); ромб из условия — \(KLMN\). Его диагонали \(KM\) и \(LN\) соединяют середины противоположных сторон прямоугольника, поэтому они равны сторонам прямоугольника: \(KM = AD = b\), \(LN = AB = a\). Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \(S_{KLMN} = \frac{1}{2}KM \cdot LN = \frac{ab}{2}\). Значит,
\[P(KLMN) = \frac{S_{KLMN}}{S_{F}} = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}.\]
б) Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей прямоугольника. Возьмём соседние вершины \(A\) и \(B\); треугольник из условия — \(AOB\). Точка \(O\) — середина диагонали \(BD\), поэтому она удалена от прямой \(AB\) на половину стороны \(AD\), то есть на \(\frac{b}{2}\). Значит, \(S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{b}{2} = \frac{ab}{4}\). Для другой пары соседних вершин, например \(B\) и \(C\), площадь та же: \(S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{a}{2} = \frac{ab}{4}\). Поэтому вероятность не зависит от того, какие две соседние вершины взяты:
\[P(AOB) = \frac{S_{AOB}}{S_{F}} = \frac{ab}{4ab} = \frac{1}{4}.\]
Ответ: а) \(\frac{1}{2}\); б) \(\frac{1}{4}\).
