Страница 76 номер 236, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Найдите свободный член в разложении выражения \(\left(2x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{6}\) по формуле бинома Ньютона.
По формуле бинома Ньютона слагаемые разложения имеют вид \(C_{6}^{k}(2x^{2})^{k}\left(\frac{1}{x}\right)^{6 - k} = C_{6}^{k} \cdot 2^{k} \cdot \frac{x^{2k}}{x^{6 - k}}\), где \(k\) принимает значения от 0 до 6. Свободный член не содержит \(x\), то есть степени \(x\) в числителе и знаменателе у него равны. Из уравнения \(2k = 6 - k\) получаем \(k = 2\). Свободный член равен \[C_{6}^{2}(2x^{2})^{2}\left(\frac{1}{x}\right)^{4} = 15 \cdot 4x^{4} \cdot \frac{1}{x^{4}} = 60.\]
Ответ: 60.
Найдите свободный член в разложении выражения \(\left(2x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{6}\) по формуле бинома Ньютона.
По формуле бинома Ньютона слагаемые разложения имеют вид \(C_{6}^{k}(2x^{2})^{k}\left(\frac{1}{x}\right)^{6 - k} = C_{6}^{k} \cdot 2^{k} \cdot \frac{x^{2k}}{x^{6 - k}}\), где \(k\) принимает значения от 0 до 6. Свободный член не содержит \(x\), то есть степени \(x\) в числителе и знаменателе у него равны. Из уравнения \(2k = 6 - k\) получаем \(k = 2\). Коэффициент \(C_{6}^{2} = 15\) — число 6-й строки треугольника Паскаля 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Свободный член равен \[C_{6}^{2}(2x^{2})^{2}\left(\frac{1}{x}\right)^{4} = 15 \cdot 4x^{4} \cdot \frac{1}{x^{4}} = 60.\]
Ответ: 60.
