Страница 73 номер 222, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
На рисунке 75 изображён треугольник из букв.
а) Сколькими способами можно собрать слово НЬЮТОН, шагая только вниз-влево или вниз-вправо от красной буквы Н до синей буквы Н?
б) Сколькими способами можно прочитать слово НЬЮТОН, двигаясь сверху вниз?
а) Пронумеруем строки букв сверху вниз, начиная с нуля, и места букв в строке слева направо, тоже с нуля. Буквы стоят так же, как вершины графа треугольника Паскаля: из каждой буквы, кроме букв нижней строки, можно шагнуть вниз-влево или вниз-вправо, а в каждой строке стоит одна и та же буква. Поэтому любой путь вниз от красной буквы Н до нижней строки читает слово НЬЮТОН. Красная буква Н — начальная вершина \((0; 0)\), синяя буква Н — третья слева в 5-й строке, то есть вершина \((5; 2)\).
В вершину \((5; 2)\) ведут 5 шагов, из них 2 вниз-вправо и 3 вниз-влево, в любом порядке, поэтому число путей равно \[C_{5}^{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} = 10.\]
б) Слово читается от красной буквы Н до любой буквы Н нижней строки: на каждом из 5 шагов можно пойти вниз-влево или вниз-вправо, и разные последовательности шагов дают разные пути. По комбинаторному правилу умножения таких путей \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{5} = 32\). Тот же результат получится, если сложить числа путей во все шесть букв Н нижней строки: \(C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5} = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32\).
Ответ: а) 10 способов; б) 32 способа.
На рисунке 75 изображён треугольник из букв.
а) Сколькими способами можно собрать слово НЬЮТОН, шагая только вниз-влево или вниз-вправо от красной буквы Н до синей буквы Н?
б) Сколькими способами можно прочитать слово НЬЮТОН, двигаясь сверху вниз?
а) Пронумеруем строки букв сверху вниз, начиная с нуля, и места букв в строке слева направо, тоже с нуля. Буквы стоят так же, как вершины графа треугольника Паскаля: из каждой буквы, кроме букв нижней строки, можно шагнуть вниз-влево или вниз-вправо, а в каждой строке стоит одна и та же буква. Поэтому любой путь вниз от красной буквы Н до нижней строки читает слово НЬЮТОН. Красная буква Н — начальная вершина \((0; 0)\), синяя буква Н — третья слева в 5-й строке, то есть вершина \((5; 2)\).
Число путей из начальной вершины графа треугольника Паскаля в вершину \((n; k)\) равно \(C_{n}^{k}\): из \(n\) шагов \(k\) делаются вниз-вправо, а остальные — вниз-влево, в любом порядке. В вершину \((5; 2)\) ведут 5 шагов, из них 2 вниз-вправо и 3 вниз-влево, поэтому число путей равно \[C_{5}^{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} = 10.\]
б) Слово читается от красной буквы Н до любой буквы Н нижней строки: на каждом из 5 шагов можно пойти вниз-влево или вниз-вправо, и разные последовательности шагов дают разные пути. По комбинаторному правилу умножения таких путей \(2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{5} = 32\). Тот же результат получится, если сложить числа путей во все шесть букв Н нижней строки: \(C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + C_{5}^{2} + C_{5}^{3} + C_{5}^{4} + C_{5}^{5} = 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32\).
Ответ: а) 10 способов; б) 32 способа.
