Вопросы после параграфа §77 на странице 76, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 2
Для любого натурального \(n\): \[\begin{aligned} &(a + b)^{n} = C_{n}^{n}a^{n} + C_{n}^{n - 1}a^{n - 1}b + C_{n}^{n - 2}a^{n - 2}b^{2} + \ldots + {} \\ &+ C_{n}^{2}a^{2}b^{n - 2} + C_{n}^{1}ab^{n - 1} + C_{n}^{0}b^{n}. \end{aligned}\]
Каждое слагаемое имеет вид \(C_{n}^{k}a^{k}b^{n - k}\), где \(k\) принимает все значения от 0 до \(n\).
Ответ: \((a + b)^{n} = C_{n}^{n}a^{n} + C_{n}^{n - 1}a^{n - 1}b + \ldots + C_{n}^{1}ab^{n - 1} + C_{n}^{0}b^{n}\), где \(n\) — натуральное число.
Коэффициенты в формуле бинома Ньютона — числа сочетаний \(C_{n}^{n}, C_{n}^{n - 1}, \ldots, C_{n}^{0}\), то есть числа \(n\)-й строки треугольника Паскаля. Например, \((a + b)^{4} = a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4}\): коэффициенты 1, 4, 6, 4, 1 — числа 4-й строки.
Ответ: коэффициенты разложения \((a + b)^{n}\) по формуле бинома Ньютона — числа \(n\)-й строки треугольника Паскаля.
По формуле бинома Ньютона для \((a + b)^{8}\) при \(a = b = 1\) сумма чисел 8-й строки равна \[C_{8}^{0} + C_{8}^{1} + \ldots + C_{8}^{8} = (1 + 1)^{8} = 2^{8} = 256.\]
Ответ: 256.
По формуле бинома Ньютона для разности \((a - b)^{26}\) при \(a = b = 1\) знаки перед слагаемыми чередуются: \[C_{26}^{26} - C_{26}^{25} + C_{26}^{24} - \ldots - C_{26}^{1} + C_{26}^{0} = (1 - 1)^{26} = 0.\]
Ответ: 0.
Для любого натурального \(n\): \[\begin{aligned} &(a + b)^{n} = C_{n}^{n}a^{n} + C_{n}^{n - 1}a^{n - 1}b + C_{n}^{n - 2}a^{n - 2}b^{2} + \ldots + {} \\ &+ C_{n}^{2}a^{2}b^{n - 2} + C_{n}^{1}ab^{n - 1} + C_{n}^{0}b^{n}. \end{aligned}\]
Каждое слагаемое имеет вид \(C_{n}^{k}a^{k}b^{n - k}\), где \(k\) принимает все значения от 0 до \(n\): степень \(a\) убывает от \(n\) до 0, степень \(b\) растёт от 0 до \(n\), сумма показателей в каждом слагаемом равна \(n\).
Ответ: \((a + b)^{n} = C_{n}^{n}a^{n} + C_{n}^{n - 1}a^{n - 1}b + \ldots + C_{n}^{1}ab^{n - 1} + C_{n}^{0}b^{n}\), где \(n\) — натуральное число.
Коэффициенты в формуле бинома Ньютона — числа сочетаний \(C_{n}^{n}, C_{n}^{n - 1}, \ldots, C_{n}^{0}\), то есть числа \(n\)-й строки треугольника Паскаля. Коэффициент при \(a^{k}b^{n - k}\) равен \(C_{n}^{k}\), потому что при перемножении \(n\) скобок \((a + b)\) слагаемое \(a^{k}b^{n - k}\) получается столько раз, сколькими способами можно выбрать \(k\) скобок, из которых берётся множитель \(a\). Например, \((a + b)^{4} = a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4}\): коэффициенты 1, 4, 6, 4, 1 — числа 4-й строки. Поэтому числа \(C_{n}^{k}\) называют ещё биномиальными коэффициентами, а строки треугольника Паскаля нумеруют с нуля: \(n\)-я строка даёт коэффициенты для \(n\)-й степени.
Ответ: коэффициенты разложения \((a + b)^{n}\) по формуле бинома Ньютона — числа \(n\)-й строки треугольника Паскаля.
По формуле бинома Ньютона для \((a + b)^{8}\) при \(a = b = 1\) сумма чисел 8-й строки равна \[C_{8}^{0} + C_{8}^{1} + \ldots + C_{8}^{8} = (1 + 1)^{8} = 2^{8} = 256.\]
Проверим сложением: 8-я строка — 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1, и \(1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256\).
Ответ: 256.
Знакопеременная сумма — это сумма чисел строки, взятых поочерёдно со знаками «+» и «−». По формуле бинома Ньютона для разности \((a - b)^{26}\) при \(a = b = 1\) знаки перед слагаемыми чередуются: \[C_{26}^{26} - C_{26}^{25} + C_{26}^{24} - \ldots - C_{26}^{1} + C_{26}^{0} = (1 - 1)^{26} = 0.\]
Ответ: 0.
