Страница 76 номер 232, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Решите уравнение \((6 - 5x)^{3} + (6 + 5x)^{3} = 2736\).
Коэффициенты — числа 3-й строки треугольника Паскаля 1, 3, 3, 1, а в разложении разности минус стоит перед слагаемыми, где \(5x\) в нечётной степени: \[\begin{aligned} &(6 - 5x)^{3} = 6^{3} - 3 \cdot 6^{2} \cdot 5x + 3 \cdot 6 \cdot (5x)^{2} - (5x)^{3} = {} \\ &= 216 - 540x + 450x^{2} - 125x^{3}; \\ &(6 + 5x)^{3} = 6^{3} + 3 \cdot 6^{2} \cdot 5x + 3 \cdot 6 \cdot (5x)^{2} + (5x)^{3} = {} \\ &= 216 + 540x + 450x^{2} + 125x^{3}. \end{aligned}\]
При сложении слагаемые с \(x\) и с \(x^{3}\) взаимно уничтожаются: \((6 - 5x)^{3} + (6 + 5x)^{3} = 432 + 900x^{2}\). Уравнение принимает вид \[\begin{aligned} 432 + 900x^{2} &= 2736; \\ 900x^{2} &= 2304; \qquad | : 900 \\ x^{2} &= 2{,}56. \end{aligned}\]
Так как \(1{,}6^{2} = 2{,}56\), то \(x = 1{,}6\) или \(x = -1{,}6\).
Ответ: \(-1{,}6\); \(1{,}6\).
Решите уравнение \((6 - 5x)^{3} + (6 + 5x)^{3} = 2736\).
Раскроем скобки по формуле бинома Ньютона: коэффициенты — числа 3-й строки треугольника Паскаля 1, 3, 3, 1, а в разложении разности минус стоит перед слагаемыми, где \(5x\) в нечётной степени: \[\begin{aligned} &(6 - 5x)^{3} = 6^{3} - 3 \cdot 6^{2} \cdot 5x + 3 \cdot 6 \cdot (5x)^{2} - (5x)^{3} = {} \\ &= 216 - 540x + 450x^{2} - 125x^{3}; \\ &(6 + 5x)^{3} = 6^{3} + 3 \cdot 6^{2} \cdot 5x + 3 \cdot 6 \cdot (5x)^{2} + (5x)^{3} = {} \\ &= 216 + 540x + 450x^{2} + 125x^{3}. \end{aligned}\]
При сложении слагаемые с \(x\) и с \(x^{3}\) взаимно уничтожаются: \((6 - 5x)^{3} + (6 + 5x)^{3} = 432 + 900x^{2}\). Уравнение принимает вид \[\begin{aligned} 432 + 900x^{2} &= 2736; \\ 900x^{2} &= 2304; \qquad | : 900 \\ x^{2} &= 2{,}56. \end{aligned}\]
Так как \(1{,}6^{2} = 2{,}56\), то \(x = 1{,}6\) или \(x = -1{,}6\).
Ответ: \(-1{,}6\); \(1{,}6\).
