Страница 81 номер 246, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В прямоугольнике со сторонами 6 см и 20 см нарисованы два непересекающихся круга диаметром 3 см каждый. Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого прямоугольника не принадлежит: а) ни одному из этих кругов; б) хотя бы одному из этих кругов.
Фигура \(F\), из которой выбирают точку, — прямоугольник: \(S_{F} = 6 \cdot 20 = 120\ (\text{см}^{2})\).
\(\pi \cdot 1{,}5^{2} = 2{,}25\pi\ (\text{см}^{2})\) — площадь каждого круга радиусом \(1{,}5\) см.
Точка выбирается случайным образом: все точки прямоугольника имеют равные шансы.
а) Событие \(G\) «точка не принадлежит ни одному из кругов» — это прямоугольник без двух кругов. Круги не пересекаются, поэтому \(S_{G} = 120 - 2 \cdot 2{,}25\pi = 120 - 4{,}5\pi\ (\text{см}^{2})\).
\[P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{120 - 4{,}5\pi}{120} = 1 - \frac{4{,}5\pi}{120} = 1 - \frac{3\pi}{80} \approx 0{,}882.\]
б) Точка не принадлежит хотя бы одному из кругов, если она лежит вне первого круга или вне второго. Общих точек у кругов нет, поэтому каждая точка прямоугольника лежит вне хотя бы одного из них: этому событию соответствует весь прямоугольник \(F\), событие достоверное, и его вероятность \(P(F) = 1\).
Ответ: а) \(1 - \frac{3\pi}{80} \approx 0{,}882\); б) 1.
В прямоугольнике со сторонами 6 см и 20 см нарисованы два непересекающихся круга диаметром 3 см каждый. Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого прямоугольника не принадлежит: а) ни одному из этих кругов; б) хотя бы одному из этих кругов.
Фигура \(F\), из которой выбирают точку, — прямоугольник со сторонами 6 см и 20 см: \(S_{F} = 6 \cdot 20 = 120\ (\text{см}^{2})\). Радиус каждого круга равен \(1{,}5\) см, площадь каждого круга — \(\pi \cdot 1{,}5^{2} = 2{,}25\pi\ (\text{см}^{2})\). Точка выбирается случайным образом: все точки прямоугольника имеют равные шансы.
а) Событие \(G\) «точка не принадлежит ни одному из кругов» — это прямоугольник без двух кругов. Круги не пересекаются, поэтому \(S_{G} = 120 - 2 \cdot 2{,}25\pi = 120 - 4{,}5\pi\ (\text{см}^{2})\). По правилу вычисления геометрической вероятности
\[P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{120 - 4{,}5\pi}{120} = 1 - \frac{4{,}5\pi}{120} = 1 - \frac{3\pi}{80} \approx 0{,}882.\]
б) Точка не принадлежит хотя бы одному из кругов, если она лежит вне первого круга или вне второго. Общих точек у кругов нет, поэтому каждая точка прямоугольника лежит вне хотя бы одного из них. Значит, этому событию соответствует весь прямоугольник \(F\): событие достоверное, и его вероятность \(P(F) = 1\).
Ответ: а) \(1 - \frac{3\pi}{80} \approx 0{,}882\); б) 1.
