Страница 76 номер 231, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Решите уравнение: а) \(x^{5} - 5x^{4} + 10x^{3} - 10x^{2} + 5x = 1\); б) \(y^{4} + 4y^{3} + 6y^{2} + 4y = 80\).
а) \[\begin{aligned} x^{5} - 5x^{4} + 10x^{3} - 10x^{2} + 5x &= 1; \qquad | -1 \\ x^{5} - 5x^{4} + 10x^{3} - 10x^{2} + 5x - 1 &= 0. \end{aligned}\]
Коэффициенты левой части 1, 5, 10, 10, 5, 1 — числа 5-й строки треугольника Паскаля, а знаки чередуются, поэтому по формуле бинома Ньютона \(x^{5} - 5x^{4} + 10x^{3} - 10x^{2} + 5x - 1 = (x - 1)^{5}\). Уравнение принимает вид \((x - 1)^{5} = 0\), откуда \(x - 1 = 0\), то есть \(x = 1\).
б) \[\begin{aligned} y^{4} + 4y^{3} + 6y^{2} + 4y &= 80; \qquad | +1 \\ y^{4} + 4y^{3} + 6y^{2} + 4y + 1 &= 81. \end{aligned}\]
Коэффициенты левой части 1, 4, 6, 4, 1 — числа 4-й строки треугольника Паскаля, поэтому по формуле бинома Ньютона \(y^{4} + 4y^{3} + 6y^{2} + 4y + 1 = (y + 1)^{4}\). Уравнение принимает вид \((y + 1)^{4} = 81\), откуда \(y + 1 = 3\) или \(y + 1 = -3\). Тогда \(y = 2\) или \(y = -4\).
Ответ: а) 1; б) \(-4\); 2.
Решите уравнение: а) \(x^{5} - 5x^{4} + 10x^{3} - 10x^{2} + 5x = 1\); б) \(y^{4} + 4y^{3} + 6y^{2} + 4y = 80\).
а) Вычтем из обеих частей уравнения единицу: \[\begin{aligned} x^{5} - 5x^{4} + 10x^{3} - 10x^{2} + 5x &= 1; \qquad | -1 \\ x^{5} - 5x^{4} + 10x^{3} - 10x^{2} + 5x - 1 &= 0. \end{aligned}\]
Коэффициенты левой части 1, 5, 10, 10, 5, 1 — числа 5-й строки треугольника Паскаля, а знаки чередуются, поэтому по формуле бинома Ньютона \(x^{5} - 5x^{4} + 10x^{3} - 10x^{2} + 5x - 1 = (x - 1)^{5}\). Уравнение принимает вид \((x - 1)^{5} = 0\), откуда \(x - 1 = 0\), то есть \(x = 1\).
б) Прибавим к обеим частям уравнения единицу: \[\begin{aligned} y^{4} + 4y^{3} + 6y^{2} + 4y &= 80; \qquad | +1 \\ y^{4} + 4y^{3} + 6y^{2} + 4y + 1 &= 81. \end{aligned}\]
Коэффициенты левой части 1, 4, 6, 4, 1 — числа 4-й строки треугольника Паскаля, поэтому по формуле бинома Ньютона \(y^{4} + 4y^{3} + 6y^{2} + 4y + 1 = (y + 1)^{4}\). Уравнение принимает вид \((y + 1)^{4} = 81\), откуда \(y + 1 = 3\) или \(y + 1 = -3\). Тогда \(y = 2\) или \(y = -4\).
Ответ: а) 1; б) \(-4\); 2.
