Страница 83 номер 251, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Углы \(AOB\) и \(COD\) вертикальные. При этом точка \(C\) лежит на луче \(AO\) и \(\angle AOB = 60^{\circ}\). Из окружности с центром в точке \(O\) случайным образом выбирают точку \(X\). Найдите вероятность того, что точка \(X\) лежит: а) внутри хотя бы одного из углов \(BOC\) или \(AOD\); б) внутри угла \(DOC\).
Углы \(AOB\) и \(COD\) вертикальные, поэтому луч \(OC\) — продолжение луча \(OA\), луч \(OD\) — продолжение луча \(OB\), а \(\angle COD = \angle AOB = 60^{\circ}\).
Углы \(BOC\) и \(AOD\) смежные с углом \(AOB\): \(\angle BOC = \angle AOD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\).
Величина угла не зависит от того, какие точки взяты на его сторонах, поэтому можно считать, что точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) лежат на окружности. Тогда они делят окружность на дуги \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\); их градусные меры равны центральным углам: \(60^{\circ}\), \(120^{\circ}\), \(60^{\circ}\) и \(120^{\circ}\). Точка окружности лежит внутри угла \(BOC\), если она лежит на дуге \(BC\) и не совпадает с её концами; так же и для остальных углов.
Точку \(X\) выбирают из окружности случайным образом, поэтому вероятность попасть на дугу равна отношению длины дуги к длине окружности \(L\). Вероятность выбрать конкретную точку окружности равна нулю, поэтому концы дуг на вероятность не влияют. Длина дуги пропорциональна её градусной мере:
\(\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot L = \frac{L}{3}\) — длина дуги в \(120^{\circ}\);
\(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot L = \frac{L}{6}\) — длина дуги в \(60^{\circ}\).
а) Точка \(X\) лежит внутри хотя бы одного из углов \(BOC\) или \(AOD\), если она лежит на дуге \(BC\) или на дуге \(DA\). Общих точек у этих дуг нет, их общая длина \(\frac{L}{3} + \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}\), поэтому вероятность события равна \(\frac{2L}{3} : L = \frac{2}{3}\).
б) Точка \(X\) лежит внутри угла \(DOC\), если она лежит на дуге \(CD\) длиной \(\frac{L}{6}\), поэтому вероятность события равна \(\frac{L}{6} : L = \frac{1}{6}\).
Ответ: а) \(\frac{2}{3}\); б) \(\frac{1}{6}\).
Углы \(AOB\) и \(COD\) вертикальные. При этом точка \(C\) лежит на луче \(AO\) и \(\angle AOB = 60^{\circ}\). Из окружности с центром в точке \(O\) случайным образом выбирают точку \(X\). Найдите вероятность того, что точка \(X\) лежит: а) внутри хотя бы одного из углов \(BOC\) или \(AOD\); б) внутри угла \(DOC\).
Углы \(AOB\) и \(COD\) вертикальные, поэтому луч \(OC\) — продолжение луча \(OA\), луч \(OD\) — продолжение луча \(OB\), а \(\angle COD = \angle AOB = 60^{\circ}\). Углы \(BOC\) и \(AOD\) смежные с углом \(AOB\), поэтому \(\angle BOC = \angle AOD = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}\). Величина угла не зависит от того, какие точки взяты на его сторонах, поэтому можно считать, что точки \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) лежат на окружности. Тогда они делят окружность на дуги \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\); их градусные меры равны этим центральным углам: \(60^{\circ}\), \(120^{\circ}\), \(60^{\circ}\) и \(120^{\circ}\). Точка окружности лежит внутри угла \(BOC\), если она лежит на дуге \(BC\) и не совпадает с её концами; так же и для остальных углов.
Точку \(X\) выбирают из окружности случайным образом: все точки окружности имеют равные шансы. Поэтому вероятность того, что точка \(X\) попадёт на дугу, равна отношению длины дуги к длине окружности. Вероятность выбрать конкретную точку окружности равна нулю, поэтому концы дуг на вероятность не влияют. Пусть длина окружности равна \(L\). Длина дуги пропорциональна её градусной мере, поэтому дуга в \(120^{\circ}\) имеет длину \(\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot L = \frac{L}{3}\), а дуга в \(60^{\circ}\) — длину \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \cdot L = \frac{L}{6}\).
а) Точка \(X\) лежит внутри хотя бы одного из углов \(BOC\) или \(AOD\), если она лежит на дуге \(BC\) или на дуге \(DA\). Общих точек у этих дуг нет, их общая длина \(\frac{L}{3} + \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}\), поэтому вероятность события равна \(\frac{2L}{3} : L = \frac{2}{3}\).
б) Точка \(X\) лежит внутри угла \(DOC\), если она лежит на дуге \(CD\) длиной \(\frac{L}{6}\), поэтому вероятность события равна \(\frac{L}{6} : L = \frac{1}{6}\).
Ответ: а) \(\frac{2}{3}\); б) \(\frac{1}{6}\).
