Страница 76 номер 230, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Запишите в виде суммы: а) \((u + v)^{5}\); б) \((u - v)^{4}\); в) \((2u - 3)^{4}\); г) \((u - 2v)^{5}\).
В разложении разности \((a - b)^{n}\) по формуле бинома Ньютона минус стоит перед теми слагаемыми, где \(b\) в нечётной степени.
а) По формуле бинома Ньютона: \[\begin{aligned} &(u + v)^{5} = C_{5}^{5}u^{5} + C_{5}^{4}u^{4}v + C_{5}^{3}u^{3}v^{2} + {} \\ &+ C_{5}^{2}u^{2}v^{3} + C_{5}^{1}uv^{4} + C_{5}^{0}v^{5} = {} \\ &= u^{5} + 5u^{4}v + 10u^{3}v^{2} + 10u^{2}v^{3} + 5uv^{4} + v^{5}. \end{aligned}\]
б) По формуле бинома Ньютона: \[\begin{aligned} &(u - v)^{4} = C_{4}^{4}u^{4} - C_{4}^{3}u^{3}v + C_{4}^{2}u^{2}v^{2} - {} \\ &- C_{4}^{1}uv^{3} + C_{4}^{0}v^{4} = {} \\ &= u^{4} - 4u^{3}v + 6u^{2}v^{2} - 4uv^{3} + v^{4}. \end{aligned}\]
в) По формуле бинома Ньютона: \[\begin{aligned} &(2u - 3)^{4} = C_{4}^{4}(2u)^{4} - C_{4}^{3}(2u)^{3} \cdot 3 + C_{4}^{2}(2u)^{2} \cdot 3^{2} - {} \\ &- C_{4}^{1} \cdot 2u \cdot 3^{3} + C_{4}^{0} \cdot 3^{4} = {} \\ &= 16u^{4} - 4 \cdot 8u^{3} \cdot 3 + 6 \cdot 4u^{2} \cdot 9 - 4 \cdot 2u \cdot 27 + 81 = {} \\ &= 16u^{4} - 96u^{3} + 216u^{2} - 216u + 81. \end{aligned}\]
Если второе слагаемое — \(3v\), то \[(2u - 3v)^{4} = 16u^{4} - 96u^{3}v + 216u^{2}v^{2} - 216uv^{3} + 81v^{4}.\]
г) По формуле бинома Ньютона: \[\begin{aligned} &(u - 2v)^{5} = C_{5}^{5}u^{5} - C_{5}^{4}u^{4} \cdot 2v + C_{5}^{3}u^{3}(2v)^{2} - {} \\ &- C_{5}^{2}u^{2}(2v)^{3} + C_{5}^{1}u(2v)^{4} - C_{5}^{0}(2v)^{5} = {} \\ &= u^{5} - 5u^{4} \cdot 2v + 10u^{3} \cdot 4v^{2} - 10u^{2} \cdot 8v^{3} + 5u \cdot 16v^{4} - 32v^{5} = {} \\ &= u^{5} - 10u^{4}v + 40u^{3}v^{2} - 80u^{2}v^{3} + 80uv^{4} - 32v^{5}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(u^{5} + 5u^{4}v + 10u^{3}v^{2} + 10u^{2}v^{3} + 5uv^{4} + v^{5}\); б) \(u^{4} - 4u^{3}v + 6u^{2}v^{2} - 4uv^{3} + v^{4}\); в) \(16u^{4} - 96u^{3} + 216u^{2} - 216u + 81\); если второе слагаемое \(3v\), то \(16u^{4} - 96u^{3}v + 216u^{2}v^{2} - 216uv^{3} + 81v^{4}\); г) \(u^{5} - 10u^{4}v + 40u^{3}v^{2} - 80u^{2}v^{3} + 80uv^{4} - 32v^{5}\).
Запишите в виде суммы: а) \((u + v)^{5}\); б) \((u - v)^{4}\); в) \((2u - 3)^{4}\); г) \((u - 2v)^{5}\).
В разложении разности \((a - b)^{n}\) по формуле бинома Ньютона минус стоит перед теми слагаемыми, где \(b\) в нечётной степени. Коэффициенты — числа строк треугольника Паскаля: 4-я строка — 1, 4, 6, 4, 1; 5-я строка — 1, 5, 10, 10, 5, 1.
а) По формуле бинома Ньютона: \[\begin{aligned} &(u + v)^{5} = C_{5}^{5}u^{5} + C_{5}^{4}u^{4}v + C_{5}^{3}u^{3}v^{2} + {} \\ &+ C_{5}^{2}u^{2}v^{3} + C_{5}^{1}uv^{4} + C_{5}^{0}v^{5} = {} \\ &= u^{5} + 5u^{4}v + 10u^{3}v^{2} + 10u^{2}v^{3} + 5uv^{4} + v^{5}. \end{aligned}\]
б) По формуле бинома Ньютона: \[\begin{aligned} &(u - v)^{4} = C_{4}^{4}u^{4} - C_{4}^{3}u^{3}v + C_{4}^{2}u^{2}v^{2} - {} \\ &- C_{4}^{1}uv^{3} + C_{4}^{0}v^{4} = {} \\ &= u^{4} - 4u^{3}v + 6u^{2}v^{2} - 4uv^{3} + v^{4}. \end{aligned}\]
в) По формуле бинома Ньютона: \[\begin{aligned} &(2u - 3)^{4} = C_{4}^{4}(2u)^{4} - C_{4}^{3}(2u)^{3} \cdot 3 + C_{4}^{2}(2u)^{2} \cdot 3^{2} - {} \\ &- C_{4}^{1} \cdot 2u \cdot 3^{3} + C_{4}^{0} \cdot 3^{4} = {} \\ &= 16u^{4} - 4 \cdot 8u^{3} \cdot 3 + 6 \cdot 4u^{2} \cdot 9 - 4 \cdot 2u \cdot 27 + 81 = {} \\ &= 16u^{4} - 96u^{3} + 216u^{2} - 216u + 81. \end{aligned}\]
Если второе слагаемое — \(3v\), то \[(2u - 3v)^{4} = 16u^{4} - 96u^{3}v + 216u^{2}v^{2} - 216uv^{3} + 81v^{4}.\]
г) По формуле бинома Ньютона: \[\begin{aligned} &(u - 2v)^{5} = C_{5}^{5}u^{5} - C_{5}^{4}u^{4} \cdot 2v + C_{5}^{3}u^{3}(2v)^{2} - {} \\ &- C_{5}^{2}u^{2}(2v)^{3} + C_{5}^{1}u(2v)^{4} - C_{5}^{0}(2v)^{5} = {} \\ &= u^{5} - 5u^{4} \cdot 2v + 10u^{3} \cdot 4v^{2} - 10u^{2} \cdot 8v^{3} + 5u \cdot 16v^{4} - 32v^{5} = {} \\ &= u^{5} - 10u^{4}v + 40u^{3}v^{2} - 80u^{2}v^{3} + 80uv^{4} - 32v^{5}. \end{aligned}\]
Ответ: а) \(u^{5} + 5u^{4}v + 10u^{3}v^{2} + 10u^{2}v^{3} + 5uv^{4} + v^{5}\); б) \(u^{4} - 4u^{3}v + 6u^{2}v^{2} - 4uv^{3} + v^{4}\); в) \(16u^{4} - 96u^{3} + 216u^{2} - 216u + 81\); если второе слагаемое \(3v\), то \(16u^{4} - 96u^{3}v + 216u^{2}v^{2} - 216uv^{3} + 81v^{4}\); г) \(u^{5} - 10u^{4}v + 40u^{3}v^{2} - 80u^{2}v^{3} + 80uv^{4} - 32v^{5}\).
