Страница 81 номер 245, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит вписанному в круг: а) квадрату; б) равностороннему треугольнику.
Пусть радиус круга равен \(R\). Фигура \(F\), из которой выбирают точку, — круг, \(S_{F} = \pi R^{2}\); событие \(G\) — вписанная фигура. Точка выбирается случайным образом: все точки круга имеют равные шансы, поэтому \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}}\).
а) Диагонали вписанного квадрата — диаметры круга: они равны \(2R\) и перпендикулярны друг другу, поэтому \(S_{G} = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot 2R = 2R^{2}\).
\[P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{2R^{2}}{\pi R^{2}} = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}637.\]
б) Пусть \(ABC\) — вписанный равносторонний треугольник, \(O\) — центр круга, \(AH\) — высота треугольника. Центр \(O\) — точка пересечения медиан треугольника, которые служат и высотами; она делит высоту \(AH\) в отношении \(2 : 1\), считая от вершины: \(AO = R\), \(OH = \frac{R}{2}\), \(AH = \frac{3}{2}R\).
В прямоугольном треугольнике \(OHC\) гипотенуза \(OC = R\): \(HC^{2} = R^{2} - \left(\frac{R}{2}\right)^{2} = \frac{3R^{2}}{4}\), откуда \(HC = \frac{\sqrt{3}}{2}R\).
\(BC = 2HC = \sqrt{3}R\) — сторона треугольника.
\(S_{G} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}R \cdot \frac{3}{2}R = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^{2}\).
\[P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{3\sqrt{3}R^{2}}{4\pi R^{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0{,}413.\]
Ответ: а) \(\frac{2}{\pi} \approx 0{,}637\); б) \(\frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0{,}413\).
В круге случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит вписанному в круг: а) квадрату; б) равностороннему треугольнику.
Пусть радиус круга равен \(R\). Фигура \(F\), из которой выбирают точку, — круг, \(S_{F} = \pi R^{2}\). Точка выбирается случайным образом: все точки круга имеют равные шансы, поэтому вероятность события \(G\) «точка принадлежит вписанной фигуре \(G\)» равна \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}}\).
а) Диагонали вписанного квадрата — диаметры круга: они равны \(2R\) и перпендикулярны друг другу. Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей: \(S_{G} = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot 2R = 2R^{2}\). Значит,
\[P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{2R^{2}}{\pi R^{2}} = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}637.\]
б) Пусть \(ABC\) — вписанный равносторонний треугольник, \(O\) — центр круга, \(AH\) — высота треугольника. Центр окружности, описанной около равностороннего треугольника, — точка пересечения его медиан, которые служат и высотами; эта точка делит высоту \(AH\) в отношении \(2 : 1\), считая от вершины. Поэтому \(AO = R\), \(OH = \frac{R}{2}\), \(AH = \frac{3}{2}R\). В прямоугольном треугольнике \(OHC\) гипотенуза \(OC = R\), и по теореме Пифагора \(HC^{2} = R^{2} - \left(\frac{R}{2}\right)^{2} = \frac{3R^{2}}{4}\), откуда \(HC = \frac{\sqrt{3}}{2}R\) и сторона треугольника \(BC = 2HC = \sqrt{3}R\). Значит, \(S_{G} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}R \cdot \frac{3}{2}R = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^{2}\) и
\[P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{3\sqrt{3}R^{2}}{4\pi R^{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0{,}413.\]
Ответ: а) \(\frac{2}{\pi} \approx 0{,}637\); б) \(\frac{3\sqrt{3}}{4\pi} \approx 0{,}413\).
