Страница 73 номер 228, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Найдите сумму чисел в каждой из первых пяти строк треугольника Паскаля. Сделайте наблюдение и обобщите его: как вы думаете, чему равна сумма всех чисел в строке с номером \(n\)?
Строки треугольника Паскаля нумеруются с нуля, поэтому первые пять строк — с 0-й по 4-ю. Суммы чисел в них: в 0-й строке — 1 (там одно число); в 1-й — \(1 + 1 = 2\); во 2-й — \(1 + 2 + 1 = 4\); в 3-й — \(1 + 3 + 3 + 1 = 8\); в 4-й — \(1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16\).
Получились степени двойки: \(1 = 2^{0}\), \(2 = 2^{1}\), \(4 = 2^{2}\), \(8 = 2^{3}\), \(16 = 2^{4}\). Каждая сумма вдвое больше предыдущей, а показатель степени равен номеру строки. Удвоение объясняется основным рекуррентным свойством: каждое число следующей строки, кроме крайних, — сумма двух чисел, стоящих над ним, а крайние единицы повторяют крайние единицы предыдущей строки. Поэтому в сумму следующей строки каждое число предыдущей строки входит дважды, и сумма удваивается.
Значит, сумма всех чисел в строке с номером \(n\) равна \(2^{n}\).
Ответ: суммы чисел в строках с 0-й по 4-ю — 1, 2, 4, 8, 16; сумма чисел в строке с номером \(n\) равна \(2^{n}\).
