Страница 83 номер 258, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Из отрезка \([0; 1]\) случайным образом независимо друг от друга выбираются два числа \(x\) и \(y\). Найдите вероятность того, что: а) \(x < \frac{1}{2}\), \(y < \frac{1}{2}\); б) \(x > 0{,}7\), \(y < 0{,}4\); в) \(0{,}2 < x < 0{,}8\), \(0{,}3 < y < 0{,}5\); г) \(x < 1\), \(y > 0{,}4\).
Каждое из чисел \(x\) и \(y\) выбирается из отрезка \([0; 1]\) случайным образом, поэтому вероятность попасть в отрезок \([a; b]\), содержащийся в отрезке \([0; 1]\), равна \(\frac{b - a}{1 - 0} = b - a\); строгий знак неравенства вероятности не меняет, так как вероятность выбрать конкретную точку равна нулю. Числа выбираются независимо друг от друга, поэтому событие, которое касается только числа \(x\), и событие, которое касается только числа \(y\), независимы: вероятность того, что наступят оба, равна произведению их вероятностей.
а) \(P\left(x < \frac{1}{2}\right) = P\left(y < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}\).
\(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0{,}25\) — вероятность того, что \(x < \frac{1}{2}\) и \(y < \frac{1}{2}\).
б) \({P(x > 0{,}7)} = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\).
\({P(y < 0{,}4)} = 0{,}4 - 0 = 0{,}4\).
\(0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12\) — вероятность того, что \(x > 0{,}7\) и \(y < 0{,}4\).
в) \({P(0{,}2 < x < 0{,}8)} = 0{,}8 - 0{,}2 = 0{,}6\).
\({P(0{,}3 < y < 0{,}5)} = 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2\).
\(0{,}6 \cdot 0{,}2 = 0{,}12\) — вероятность того, что наступят оба события.
г) Неравенство \(x < 1\) не выполняется только при \(x = 1\), а вероятность выбрать конкретную точку равна нулю, поэтому \({P(x < 1)} = 1 - 0 = 1\).
\({P(y > 0{,}4)} = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\).
\(1 \cdot 0{,}6 = 0{,}6\) — вероятность того, что \(x < 1\) и \(y > 0{,}4\).
Ответ: а) 0,25; б) 0,12; в) 0,12; г) 0,6.
Из отрезка \([0; 1]\) случайным образом независимо друг от друга выбираются два числа \(x\) и \(y\). Найдите вероятность того, что: а) \(x < \frac{1}{2}\), \(y < \frac{1}{2}\); б) \(x > 0{,}7\), \(y < 0{,}4\); в) \(0{,}2 < x < 0{,}8\), \(0{,}3 < y < 0{,}5\); г) \(x < 1\), \(y > 0{,}4\).
Каждое из чисел \(x\) и \(y\) выбирается из отрезка \([0; 1]\) случайным образом, поэтому вероятность того, что оно попадёт в отрезок \([a; b]\), содержащийся в отрезке \([0; 1]\), равна \(\frac{b - a}{1 - 0} = b - a\). Строгий знак неравенства вероятности не меняет, так как вероятность выбрать конкретную точку равна нулю. Числа выбираются независимо друг от друга, поэтому событие, которое касается только числа \(x\), и событие, которое касается только числа \(y\), независимы: вероятность того, что наступят оба, равна произведению их вероятностей.
а) \(P\left(x < \frac{1}{2}\right) = P\left(y < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}\), поэтому вероятность того, что \(x < \frac{1}{2}\) и \(y < \frac{1}{2}\), равна \(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} = 0{,}25\).
б) \({P(x > 0{,}7)} = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\), \({P(y < 0{,}4)} = 0{,}4 - 0 = 0{,}4\), поэтому вероятность того, что \(x > 0{,}7\) и \(y < 0{,}4\), равна \(0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12\).
в) \({P(0{,}2 < x < 0{,}8)} = 0{,}8 - 0{,}2 = 0{,}6\), \({P(0{,}3 < y < 0{,}5)} = 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2\), поэтому вероятность того, что наступят оба события, равна \(0{,}6 \cdot 0{,}2 = 0{,}12\).
г) Неравенство \(x < 1\) не выполняется только при \(x = 1\), а вероятность выбрать конкретную точку равна нулю, поэтому \({P(x < 1)} = 1 - 0 = 1\). Кроме того, \({P(y > 0{,}4)} = 1 - 0{,}4 = 0{,}6\), поэтому вероятность того, что \(x < 1\) и \(y > 0{,}4\), равна \(1 \cdot 0{,}6 = 0{,}6\).
Ответ: а) 0,25; б) 0,12; в) 0,12; г) 0,6.
