Страница 76 номер 238, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Найдите значение выражения: \[2^{5}C_{5}^{5} + 2^{4}C_{5}^{4} + 2^{3}C_{5}^{3} + 2^{2}C_{5}^{2} + 2C_{5}^{1} + C_{5}^{0}.\]
По формуле бинома Ньютона для \((a + b)^{5}\) при \(a = 2\), \(b = 1\): \[\begin{aligned} &2^{5}C_{5}^{5} + 2^{4}C_{5}^{4} + 2^{3}C_{5}^{3} + 2^{2}C_{5}^{2} + 2C_{5}^{1} + C_{5}^{0} = {} \\ &= (2 + 1)^{5} = 3^{5} = 243. \end{aligned}\]
Ответ: 243.
Найдите значение выражения: \[2^{5}C_{5}^{5} + 2^{4}C_{5}^{4} + 2^{3}C_{5}^{3} + 2^{2}C_{5}^{2} + 2C_{5}^{1} + C_{5}^{0}.\]
По формуле бинома Ньютона для \((a + b)^{5}\) при \(a = 2\), \(b = 1\): \[\begin{aligned} &2^{5}C_{5}^{5} + 2^{4}C_{5}^{4} + 2^{3}C_{5}^{3} + 2^{2}C_{5}^{2} + 2C_{5}^{1} + C_{5}^{0} = {} \\ &= (2 + 1)^{5} = 3^{5} = 243. \end{aligned}\]
Тот же результат даёт прямой подсчёт по числам 5-й строки треугольника Паскаля 1, 5, 10, 10, 5, 1: \(32 \cdot 1 + 16 \cdot 5 + 8 \cdot 10 + 4 \cdot 10 + 2 \cdot 5 + 1 = 32 + 80 + 80 + 40 + 10 + 1 = 243\).
Ответ: 243.
