Страница 73 номер 225, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Постройте в тетради треугольник Паскаля высотой в 12 строк. Пользуясь построенным треугольником, решите две задачи. а) На плоскости отмечены 11 точек. Никакие три из них не лежат на одной прямой, и никакие четыре не лежат на одной окружности. Сколько разных окружностей, проходящих через три из этих точек, можно нарисовать? б) В канцелярском отделе 12 видов авторучек. Сколькими способами можно выбрать из них 4 для покупки? Найдите ответ в построенном треугольнике Паскаля.
Запишем треугольник Паскаля высотой в 12 строк. Числа, которые понадобятся в пунктах а) и б), выделены жирным.
\[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \enspace 1 \\ 1 \enspace 2 \enspace 1 \\ 1 \enspace 3 \enspace 3 \enspace 1 \\ 1 \enspace 4 \enspace 6 \enspace 4 \enspace 1 \\ 1 \enspace 5 \enspace 10 \enspace 10 \enspace 5 \enspace 1 \\ 1 \enspace 6 \enspace 15 \enspace 20 \enspace 15 \enspace 6 \enspace 1 \\ 1 \enspace 7 \enspace 21 \enspace 35 \enspace 35 \enspace 21 \enspace 7 \enspace 1 \\ 1 \enspace 8 \enspace 28 \enspace 56 \enspace 70 \enspace 56 \enspace 28 \enspace 8 \enspace 1 \\ 1 \enspace 9 \enspace 36 \enspace 84 \enspace 126 \enspace 126 \enspace 84 \enspace 36 \enspace 9 \enspace 1 \\ 1 \enspace 10 \enspace 45 \enspace 120 \enspace 210 \enspace 252 \enspace 210 \enspace 120 \enspace 45 \enspace 10 \enspace 1 \\ 1 \enspace 11 \enspace 55 \enspace \mathbf{165} \enspace \mathbf{330} \enspace 462 \enspace 462 \enspace 330 \enspace 165 \enspace 55 \enspace 11 \enspace 1 \end{array}\]
а) Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна окружность, а никакие четыре из отмеченных точек не лежат на одной окружности, поэтому разные тройки точек дают разные окружности. Значит, окружностей столько же, сколько способов выбрать 3 точки из 11 без учёта порядка, то есть \(C_{11}^{3}\). Это число стоит в 11-й строке и в 3-м столбце треугольника: \(C_{11}^{3} = 165\).
б) Выбрать 4 вида авторучек из 12 для покупки — значит выбрать набор из 4 видов: порядок выбранных видов не важен, поэтому число способов равно \(C_{12}^{4}\).
Треугольник высотой в 12 строк заканчивается 11-й строкой (строки нумеруются с нуля), а число \(C_{12}^{4}\) стоит в следующей, 12-й строке. По основному рекуррентному свойству оно равно сумме двух чисел 11-й строки, стоящих над ним: \(C_{12}^{4} = C_{11}^{3} + C_{11}^{4} = 165 + 330 = 495\).
Ответ: а) 165 окружностей; б) 495 способами.
Постройте в тетради треугольник Паскаля высотой в 12 строк. Пользуясь построенным треугольником, решите две задачи. а) На плоскости отмечены 11 точек. Никакие три из них не лежат на одной прямой, и никакие четыре не лежат на одной окружности. Сколько разных окружностей, проходящих через три из этих точек, можно нарисовать? б) В канцелярском отделе 12 видов авторучек. Сколькими способами можно выбрать из них 4 для покупки? Найдите ответ в построенном треугольнике Паскаля.
Запишем треугольник Паскаля высотой в 12 строк: каждая строка начинается и заканчивается единицей, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним. Числа, которые понадобятся в пунктах а) и б), выделены жирным.
\[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \enspace 1 \\ 1 \enspace 2 \enspace 1 \\ 1 \enspace 3 \enspace 3 \enspace 1 \\ 1 \enspace 4 \enspace 6 \enspace 4 \enspace 1 \\ 1 \enspace 5 \enspace 10 \enspace 10 \enspace 5 \enspace 1 \\ 1 \enspace 6 \enspace 15 \enspace 20 \enspace 15 \enspace 6 \enspace 1 \\ 1 \enspace 7 \enspace 21 \enspace 35 \enspace 35 \enspace 21 \enspace 7 \enspace 1 \\ 1 \enspace 8 \enspace 28 \enspace 56 \enspace 70 \enspace 56 \enspace 28 \enspace 8 \enspace 1 \\ 1 \enspace 9 \enspace 36 \enspace 84 \enspace 126 \enspace 126 \enspace 84 \enspace 36 \enspace 9 \enspace 1 \\ 1 \enspace 10 \enspace 45 \enspace 120 \enspace 210 \enspace 252 \enspace 210 \enspace 120 \enspace 45 \enspace 10 \enspace 1 \\ 1 \enspace 11 \enspace 55 \enspace \mathbf{165} \enspace \mathbf{330} \enspace 462 \enspace 462 \enspace 330 \enspace 165 \enspace 55 \enspace 11 \enspace 1 \end{array}\]
а) Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна окружность, а никакие четыре из отмеченных точек не лежат на одной окружности, поэтому разные тройки точек дают разные окружности. Значит, окружностей столько же, сколько способов выбрать 3 точки из 11 без учёта порядка, то есть \(C_{11}^{3}\). Это число стоит в 11-й строке и в 3-м столбце треугольника: \(C_{11}^{3} = 165\).
б) Выбрать 4 вида авторучек из 12 для покупки — значит выбрать набор из 4 видов: порядок выбранных видов не важен, поэтому число способов равно \(C_{12}^{4}\).
Треугольник высотой в 12 строк заканчивается 11-й строкой (строки нумеруются с нуля), а число \(C_{12}^{4}\) стоит в следующей, 12-й строке. По основному рекуррентному свойству оно равно сумме двух чисел 11-й строки, стоящих над ним: \(C_{12}^{4} = C_{11}^{3} + C_{11}^{4} = 165 + 330 = 495\).
Ответ: а) 165 окружностей; б) 495 способами.
