Страница 83 номер 253, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В окружность вписан равносторонний треугольник \(ABC\). На этой окружности случайным образом выбирают две точки — \(D\) и \(E\). Найдите вероятность того, что отрезок \(DE\): а) не пересекает ни одну из сторон треугольника; б) пересекает ровно две стороны треугольника.
Стороны треугольника \(ABC\) равны, поэтому равны и дуги \(AB\), \(BC\) и \(CA\), на которые его вершины делят окружность: каждая из них — треть окружности.
Прямая \(AB\) пересекает круг по хорде \(AB\), поэтому отрезок \(DE\) пересекает сторону \(AB\) тогда и только тогда, когда точки \(D\) и \(E\) лежат по разные стороны от прямой \(AB\): одна — на дуге \(AB\), другая — на остальной части окружности; так же и для сторон \(BC\) и \(CA\). Значит, если точки \(D\) и \(E\) лежат на одной дуге, то отрезок \(DE\) не пересекает ни одной стороны треугольника, а если на разных дугах, то пересекает ровно две стороны — те, которые стягивают эти дуги.
Каждая точка выбирается из окружности случайным образом, поэтому на каждую из трёх дуг она попадает с вероятностью \(\frac{1}{3}\); попадание точки в вершину треугольника имеет вероятность 0, его можно не учитывать. Будем считать, что точки \(D\) и \(E\) выбираются независимо друг от друга.
а) Точки выбираются независимо, поэтому вероятность того, что обе они лежат на дуге \(AB\), равна \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\); так же и для дуг \(BC\) и \(CA\).
Эти три события несовместны, поэтому вероятность того, что точки \(D\) и \(E\) лежат на одной дуге, равна \(\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}\).
б) Отрезок \(DE\) пересекает ровно две стороны треугольника, если точки \(D\) и \(E\) лежат на разных дугах. Это событие противоположно событию «точки \(D\) и \(E\) лежат на одной дуге», поэтому его вероятность равна \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
Ответ: а) \(\frac{1}{3}\); б) \(\frac{2}{3}\).
В окружность вписан равносторонний треугольник \(ABC\). На этой окружности случайным образом выбирают две точки — \(D\) и \(E\). Найдите вероятность того, что отрезок \(DE\): а) не пересекает ни одну из сторон треугольника; б) пересекает ровно две стороны треугольника.
Стороны треугольника \(ABC\) равны, поэтому равны и дуги \(AB\), \(BC\) и \(CA\), на которые его вершины делят окружность: каждая из них — треть окружности.
Прямая \(AB\) пересекает круг по хорде \(AB\). Поэтому отрезок \(DE\) пересекает сторону \(AB\) тогда и только тогда, когда точки \(D\) и \(E\) лежат по разные стороны от прямой \(AB\): одна — на дуге \(AB\), другая — на остальной части окружности. Так же и для сторон \(BC\) и \(CA\). Значит, если точки \(D\) и \(E\) лежат на одной дуге, то отрезок \(DE\) не пересекает ни одной стороны треугольника, а если на разных дугах, то пересекает ровно две стороны — те, которые стягивают эти дуги.
Каждая точка выбирается из окружности случайным образом, все точки окружности имеют равные шансы, поэтому вероятность попасть на дугу равна отношению длины дуги к длине окружности: на каждую из трёх дуг точка попадает с вероятностью \(\frac{1}{3}\). Попадание точки в вершину треугольника имеет вероятность 0, его можно не учитывать. Будем считать, что точки \(D\) и \(E\) выбираются независимо друг от друга.
а) Точки выбираются независимо, поэтому вероятность того, что обе они лежат на дуге \(AB\), равна \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\); так же и для дуг \(BC\) и \(CA\). Эти три события несовместны, поэтому вероятность того, что точки \(D\) и \(E\) лежат на одной дуге, равна сумме их вероятностей: \(\frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{3}\).
б) Отрезок \(DE\) пересекает ровно две стороны треугольника, если точки \(D\) и \(E\) лежат на разных дугах. Это событие противоположно событию «точки \(D\) и \(E\) лежат на одной дуге», поэтому его вероятность равна \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\).
Ответ: а) \(\frac{1}{3}\); б) \(\frac{2}{3}\).
