Страница 76 номер 237, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Почему равенства \(11^{2} = 121\) и \(11^{3} = 1331\) похожи на строчки треугольника Паскаля? Догадайтесь, чему равно число \(11^{4}\). Проверьте свою догадку.
Число 11 равно \(10 + 1\). \[\begin{aligned} 11^{2} &= (10 + 1)^{2} = 1 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10 + 1 = 121; \\ 11^{3} &= (10 + 1)^{3} = 1 \cdot 10^{3} + 3 \cdot 10^{2} + 3 \cdot 10 + 1 = 1331. \end{aligned}\]
Коэффициенты здесь — числа 2-й и 3-й строк треугольника Паскаля: 1, 2, 1 и 1, 3, 3, 1. Каждое из них меньше 10, поэтому оно и становится цифрой своего разряда: цифры чисел 121 и 1331 — это числа 2-й и 3-й строк.
Числа 4-й строки 1, 4, 6, 4, 1 тоже меньше 10, поэтому догадка такая: \(11^{4} = 14\,641\). Проверим её умножением: \(11^{4} = 11^{3} \cdot 11 = 1331 \cdot 11 = 14\,641\) — догадка верна.
Для \(11^{5}\) так уже не получится: в 5-й строке есть числа 10, они не помещаются в один разряд, и \(11^{5} = 161\,051\).
Ответ: \(11 = 10 + 1\), а коэффициенты разложения \((10 + 1)^{n}\) по формуле бинома Ньютона — числа \(n\)-й строки треугольника Паскаля; пока все они меньше 10, они и есть цифры числа \(11^{n}\); \(11^{4} = 14\,641\).
Почему равенства \(11^{2} = 121\) и \(11^{3} = 1331\) похожи на строчки треугольника Паскаля? Догадайтесь, чему равно число \(11^{4}\). Проверьте свою догадку.
Число 11 равно \(10 + 1\). Разложим его степени по формуле бинома Ньютона: \[\begin{aligned} 11^{2} &= (10 + 1)^{2} = 1 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10 + 1 = 121; \\ 11^{3} &= (10 + 1)^{3} = 1 \cdot 10^{3} + 3 \cdot 10^{2} + 3 \cdot 10 + 1 = 1331. \end{aligned}\]
Коэффициенты здесь — числа 2-й и 3-й строк треугольника Паскаля: 1, 2, 1 и 1, 3, 3, 1. Каждое из них меньше 10, поэтому оно и становится цифрой своего разряда: цифры чисел 121 и 1331 — это числа 2-й и 3-й строк.
Числа 4-й строки 1, 4, 6, 4, 1 тоже меньше 10, поэтому догадка такая: \(11^{4} = 14\,641\). Проверим её умножением: \(11^{4} = 11^{3} \cdot 11 = 1331 \cdot 11 = 14\,641\) — догадка верна.
Для \(11^{5}\) так уже не получится: в 5-й строке есть числа 10, они не помещаются в один разряд, и \(11^{5} = 161\,051\).
Ответ: \(11 = 10 + 1\), а коэффициенты разложения \((10 + 1)^{n}\) по формуле бинома Ньютона — числа \(n\)-й строки треугольника Паскаля; пока все они меньше 10, они и есть цифры числа \(11^{n}\); \(11^{4} = 14\,641\).
