Страница 83 номер 252, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
На окружности с центром \(O\) выбрана точка \(A\). Из этой окружности выбирают случайную точку \(X\). Найдите вероятность того, что угол \(AOX\): а) меньше 90°; б) больше 120°; в) находится в пределах от 30° до 60°.
Точку \(X\) выбирают из окружности случайным образом, а длина дуги пропорциональна её градусной мере, поэтому вероятность попасть на дугу равна отношению градусной меры дуги к \(360^{\circ}\).
Угол \(AOX\) может быть любым от \(0^{\circ}\) до \(180^{\circ}\), и каждое значение между ними он принимает при двух положениях точки \(X\) — по разные стороны от прямой \(OA\), поэтому каждое условие на угол \(AOX\) задаёт дуги, симметричные относительно прямой \(OA\). Концы этих дуг на вероятность не влияют: вероятность выбрать конкретную точку окружности равна нулю, поэтому строгий знак неравенства вероятности не меняет.
а) Угол \(AOX\) меньше \(90^{\circ}\), если точка \(X\) лежит на дуге, которая тянется от точки \(A\) на \(90^{\circ}\) в обе стороны; её градусная мера \(90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}\), поэтому вероятность события равна \(\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).
б) Угол \(AOX\) больше \(120^{\circ}\), если точка \(X\) лежит на дуге, которая не содержит точку \(A\) и ограничена двумя точками, для которых \(\angle AOX = 120^{\circ}\); её градусная мера \(360^{\circ} - 2 \cdot 120^{\circ} = 120^{\circ}\), поэтому вероятность события равна \(\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{3}\).
в) Угол \(AOX\) находится в пределах от \(30^{\circ}\) до \(60^{\circ}\), если точка \(X\) лежит на одной из двух дуг по \(60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}\) — по одну и по другую сторону от точки \(A\); их общая градусная мера \(30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}\), поэтому вероятность события равна \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{6}\).
Ответ: а) 0,5; б) \(\frac{1}{3}\); в) \(\frac{1}{6}\).
На окружности с центром \(O\) выбрана точка \(A\). Из этой окружности выбирают случайную точку \(X\). Найдите вероятность того, что угол \(AOX\): а) меньше 90°; б) больше 120°; в) находится в пределах от 30° до 60°.
Точку \(X\) выбирают из окружности случайным образом: все точки окружности имеют равные шансы. Поэтому вероятность того, что точка \(X\) попадёт на дугу, равна отношению длины дуги к длине окружности, а так как длина дуги пропорциональна её градусной мере, — отношению градусной меры дуги к \(360^{\circ}\).
Угол \(AOX\) может быть любым от \(0^{\circ}\) до \(180^{\circ}\), и каждое значение между ними он принимает при двух положениях точки \(X\) — по разные стороны от прямой \(OA\). Поэтому каждое условие на угол \(AOX\) задаёт дуги, симметричные относительно прямой \(OA\). Концы этих дуг на вероятность не влияют: вероятность выбрать конкретную точку окружности равна нулю, поэтому строгий знак неравенства вероятности не меняет.
а) Угол \(AOX\) меньше \(90^{\circ}\), если точка \(X\) лежит на дуге, которая тянется от точки \(A\) на \(90^{\circ}\) в обе стороны. Градусная мера этой дуги \(90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}\), поэтому вероятность события равна \(\frac{180^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{2} = 0{,}5\).
б) Угол \(AOX\) больше \(120^{\circ}\), если точка \(X\) лежит на дуге, которая не содержит точку \(A\) и ограничена двумя точками, для которых \(\angle AOX = 120^{\circ}\). Градусная мера этой дуги \(360^{\circ} - 2 \cdot 120^{\circ} = 120^{\circ}\), поэтому вероятность события равна \(\frac{120^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{3}\).
в) Угол \(AOX\) находится в пределах от \(30^{\circ}\) до \(60^{\circ}\), если точка \(X\) лежит на одной из двух дуг по \(60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}\) — по одну и по другую сторону от точки \(A\). Общая градусная мера этих дуг \(30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ}\), поэтому вероятность события равна \(\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{6}\).
Ответ: а) 0,5; б) \(\frac{1}{3}\); в) \(\frac{1}{6}\).
