Страница 76 номер 234, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Найдите коэффициент при \(x^{4}\) в представлении в стандартном виде многочлена: а) \((2x + 1)^{6}\); б) \((3x - 2)^{5}\); в) \((x - 1)^{8} + (x + 1)^{8}\); г) \((x - 2)^{6} - (x + 2)^{6}\).
\(C_{5}^{4} = C_{5}^{1} = 5\);
\(C_{6}^{4} = C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{1 \cdot 2} = 15\);
\(C_{8}^{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 70\).
а) Степень \(x^{4}\) есть в том слагаемом, где \(2x\) стоит в четвёртой степени, а 1 — во второй: \[C_{6}^{4}(2x)^{4} \cdot 1^{2} = 15 \cdot 16x^{4} = 240x^{4}.\]
б) Степень \(x^{4}\) есть в том слагаемом, где \(3x\) стоит в четвёртой степени, а 2 — в первой, нечётной, поэтому перед этим слагаемым минус: \[-C_{5}^{4}(3x)^{4} \cdot 2 = -5 \cdot 81x^{4} \cdot 2 = -810x^{4}.\]
в) В разложениях \((x - 1)^{8}\) и \((x + 1)^{8}\) слагаемое с \(x^{4}\) одно и то же: число 1 в нём стоит в четвёртой, чётной степени, поэтому минуса нет и в разложении разности: \[C_{8}^{4}x^{4} \cdot 1^{4} = 70x^{4}.\]
В сумме коэффициент при \(x^{4}\) равен \(70 + 70 = 140\).
г) В разложениях \((x - 2)^{6}\) и \((x + 2)^{6}\) слагаемое с \(x^{4}\) тоже одно и то же: число 2 в нём стоит во второй, чётной степени: \[C_{6}^{4}x^{4} \cdot 2^{2} = 15 \cdot 4x^{4} = 60x^{4}.\]
В разности эти слагаемые взаимно уничтожаются: коэффициент при \(x^{4}\) равен \(60 - 60 = 0\).
Ответ: а) 240; б) \(-810\); в) 140; г) 0.
Найдите коэффициент при \(x^{4}\) в представлении в стандартном виде многочлена: а) \((2x + 1)^{6}\); б) \((3x - 2)^{5}\); в) \((x - 1)^{8} + (x + 1)^{8}\); г) \((x - 2)^{6} - (x + 2)^{6}\).
Слагаемые разложения \((a + b)^{n}\) по формуле бинома Ньютона имеют вид \(C_{n}^{k}a^{k}b^{n - k}\), а в разложении \((a - b)^{n}\) минус стоит перед теми слагаемыми, где \(b\) в нечётной степени. Понадобятся числа сочетаний \(C_{5}^{4} = C_{5}^{1} = 5\), \(C_{6}^{4} = C_{6}^{2} = \frac{6 \cdot 5}{1 \cdot 2} = 15\) и \(C_{8}^{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 70\).
а) Степень \(x^{4}\) есть в том слагаемом, где \(2x\) стоит в четвёртой степени, а 1 — во второй: \[C_{6}^{4}(2x)^{4} \cdot 1^{2} = 15 \cdot 16x^{4} = 240x^{4}.\]
б) Степень \(x^{4}\) есть в том слагаемом, где \(3x\) стоит в четвёртой степени, а 2 — в первой, нечётной, поэтому перед этим слагаемым минус: \[-C_{5}^{4}(3x)^{4} \cdot 2 = -5 \cdot 81x^{4} \cdot 2 = -810x^{4}.\]
в) В разложениях \((x - 1)^{8}\) и \((x + 1)^{8}\) слагаемое с \(x^{4}\) одно и то же: число 1 в нём стоит в четвёртой, чётной степени, поэтому минуса нет и в разложении разности: \[C_{8}^{4}x^{4} \cdot 1^{4} = 70x^{4}.\]
В сумме коэффициент при \(x^{4}\) равен \(70 + 70 = 140\).
г) В разложениях \((x - 2)^{6}\) и \((x + 2)^{6}\) слагаемое с \(x^{4}\) тоже одно и то же: число 2 в нём стоит во второй, чётной степени: \[C_{6}^{4}x^{4} \cdot 2^{2} = 15 \cdot 4x^{4} = 60x^{4}.\]
В разности эти слагаемые взаимно уничтожаются: коэффициент при \(x^{4}\) равен \(60 - 60 = 0\).
Ответ: а) 240; б) \(-810\); в) 140; г) 0.
