Страница 70 номер 218, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
На книжной полке 6 романов и 4 повести, расположенные в случайном порядке. С полки сняли 7 первых попавшихся книг. Найдите вероятность того, что на полке остались: а) только повести; б) только романы. Указание. а) Элементарным событием будем считать комбинацию из трёх оставшихся на полке книг. Всего таких комбинаций \(C_{10}^{3}\). Событию «остались только повести» благоприятствуют \(C_{4}^{3}\) элементарных событий, поскольку повестей всего 4.
Элементарное событие — набор из трёх книг, оставшихся на полке; порядок книг в наборе не важен. Книги стоят в случайном порядке, а сняли первые попавшиеся, поэтому все такие наборы равновозможны. Их число \[N = C_{10}^{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 120.\]
а) Событию \(A\) «остались только повести» благоприятствуют наборы из трёх повестей, а повестей 4: \(N(A) = C_{4}^{3} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4\). Следовательно, \(P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}\).
б) Событию \(B\) «остались только романы» благоприятствуют наборы из трёх романов, а романов 6: \[N(B) = C_{6}^{3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 20.\] Следовательно, \(P(B) = \frac{N(B)}{N} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}\).
Ответ: а) \(\frac{1}{30}\); б) \(\frac{1}{6}\).
