Страница 80 номер 243, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
В квадрате \(ABCD\) случайным образом выбирается точка \(X\). Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику \(ADM\), где точка \(M\): а) середина стороны \(CD\); б) делит отрезок \(CD\) в отношении \(1 : 2\), считая от точки \(C\); в) делит отрезок \(CD\) в отношении \(m : n\), считая от точки \(C\).
Пусть сторона квадрата равна \(a\). Фигура \(F\), из которой выбирают точку, — квадрат \(ABCD\), \(S_{F} = a^{2}\); событие — треугольник \(ADM\). Точка \(M\) лежит на стороне \(CD\), поэтому треугольник \(ADM\) прямоугольный с катетами \(AD = a\) и \(DM\). Точка \(X\) выбирается случайным образом: все точки квадрата имеют равные шансы, поэтому \(P(ADM) = \frac{S_{ADM}}{S_{F}}\).
а) \(DM = \frac{1}{2}a\), поэтому \(S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{1}{2}a = \frac{a^{2}}{4}\).
\[P(ADM) = \frac{S_{ADM}}{S_{F}} = \frac{a^{2}}{4a^{2}} = \frac{1}{4}.\]
б) \(CM : MD = 1 : 2\), значит, \(DM = \frac{2}{3}a\) и \(S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{2}{3}a = \frac{a^{2}}{3}\).
\[P(ADM) = \frac{S_{ADM}}{S_{F}} = \frac{a^{2}}{3a^{2}} = \frac{1}{3}.\]
в) \(CM : MD = m : n\), то есть \(CM = mt\) и \(MD = nt\) при некотором \(t > 0\). Так как \(CM + MD = CD = a\), то \((m + n)t = a\), откуда \(DM = nt = \frac{n}{m + n}a\).
\(S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{n}{m + n}a = \frac{na^{2}}{2(m + n)}\).
\[P(ADM) = \frac{S_{ADM}}{S_{F}} = \frac{na^{2}}{2(m + n)a^{2}} = \frac{n}{2(m + n)}.\]
При \(m = n = 1\) эта формула даёт \(\frac{1}{4}\), а при \(m = 1\), \(n = 2\) — \(\frac{1}{3}\), как в пунктах а) и б).
Ответ: а) \(\frac{1}{4}\); б) \(\frac{1}{3}\); в) \(\frac{n}{2(m + n)}\).
В квадрате \(ABCD\) случайным образом выбирается точка \(X\). Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит треугольнику \(ADM\), где точка \(M\): а) середина стороны \(CD\); б) делит отрезок \(CD\) в отношении \(1 : 2\), считая от точки \(C\); в) делит отрезок \(CD\) в отношении \(m : n\), считая от точки \(C\).
Пусть сторона квадрата равна \(a\). Фигура \(F\), из которой выбирают точку, — квадрат \(ABCD\), \(S_{F} = a^{2}\). Точка \(M\) лежит на стороне \(CD\), поэтому треугольник \(ADM\) прямоугольный: угол \(D\) прямой, катеты — \(AD = a\) и \(DM\). Точка \(X\) выбирается случайным образом: все точки квадрата имеют равные шансы, поэтому вероятность события \(ADM\) «точка \(X\) принадлежит треугольнику \(ADM\)» равна \(P(ADM) = \frac{S_{ADM}}{S_{F}}\).
а) Точка \(M\) — середина стороны \(CD\), поэтому \(DM = \frac{1}{2}a\), \(S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{1}{2}a = \frac{a^{2}}{4}\) и
\[P(ADM) = \frac{S_{ADM}}{S_{F}} = \frac{a^{2}}{4a^{2}} = \frac{1}{4}.\]
б) Точка \(M\) делит отрезок \(CD\) в отношении \(1 : 2\), считая от точки \(C\): \(CM : MD = 1 : 2\). Значит, \(DM = \frac{2}{3}a\), \(S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{2}{3}a = \frac{a^{2}}{3}\) и
\[P(ADM) = \frac{S_{ADM}}{S_{F}} = \frac{a^{2}}{3a^{2}} = \frac{1}{3}.\]
в) Точка \(M\) делит отрезок \(CD\) в отношении \(m : n\), считая от точки \(C\): \(CM : MD = m : n\), то есть \(CM = mt\) и \(MD = nt\) при некотором \(t > 0\). Так как \(CM + MD = CD = a\), то \((m + n)t = a\), откуда \(DM = nt = \frac{n}{m + n}a\), \(S_{ADM} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{n}{m + n}a = \frac{na^{2}}{2(m + n)}\) и
\[P(ADM) = \frac{S_{ADM}}{S_{F}} = \frac{na^{2}}{2(m + n)a^{2}} = \frac{n}{2(m + n)}.\]
При \(m = n = 1\) эта формула даёт \(\frac{1}{4}\), а при \(m = 1\), \(n = 2\) — \(\frac{1}{3}\), как в пунктах а) и б).
Ответ: а) \(\frac{1}{4}\); б) \(\frac{1}{3}\); в) \(\frac{n}{2(m + n)}\).
