Вопросы после параграфа §76 на странице 72, ГДЗ по алгебре за 7 класс к учебнику Высоцкого часть 2
Строки треугольника Паскаля нумеруются с нуля: в 7-й строке стоят числа от \(C_{7}^{0}\) до \(C_{7}^{7}\), то есть \(7 + 1 = 8\) чисел.
Ответ: 8 чисел.
Числа 7-й строки получаются из чисел 6-й строки 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1: крайние числа равны 1, а каждое из остальных — сумма двух чисел, стоящих над ним: \(1 + 6 = 7\);
\(6 + 15 = 21\);
\(15 + 20 = 35\);
\(20 + 15 = 35\);
\(15 + 6 = 21\);
\(6 + 1 = 7\). Значит, 7-я строка — 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. По свойству симметричности \(C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}\) строка одинаково читается слева направо и справа налево, поэтому восемь её чисел разбиваются на четыре пары равных: \(C_{7}^{0} = C_{7}^{7} = 1\), \(C_{7}^{1} = C_{7}^{6} = 7\), \(C_{7}^{2} = C_{7}^{5} = 21\), \(C_{7}^{3} = C_{7}^{4} = 35\). Разных чисел четыре: 1, 7, 21, 35.
Ответ: 4 разных числа: 1, 7, 21, 35.
Треугольник Паскаля записывают в виде равнобедренного треугольника: каждая строка стоит по центру, и середины всех строк лежат на вертикальной прямой, проходящей через верхнюю единицу. Числа \(C_{n}^{k}\) и \(C_{n}^{n - k}\) стоят в \(n\)-й строке симметрично относительно её середины: первое — на \(k\)-м месте слева, второе — на \(k\)-м месте справа (места считаются с нуля). По свойству симметричности эти числа равны: \(C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}\). Значит, при отражении относительно этой прямой каждое число переходит в равное ему число и треугольник не меняется.
Ответ: да, ось симметрии — вертикальная прямая, проходящая через верхнюю вершину треугольника и середины всех строк.
Число \(C_{7}^{3}\) не крайнее в 7-й строке, поэтому по основному рекуррентному свойству оно равно сумме двух чисел 6-й строки, стоящих над ним: \[C_{7}^{3} = C_{6}^{2} + C_{6}^{3} = 15 + 20 = 35.\]
Ответ: \(C_{7}^{3} = C_{6}^{2} + C_{6}^{3}\), то есть \(35 = 15 + 20\).
Строки треугольника Паскаля нумеруются с нуля, и в \(n\)-й строке стоят числа \(C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \ldots, C_{n}^{n}\) — их \(n + 1\). В 7-й строке стоят числа от \(C_{7}^{0}\) до \(C_{7}^{7}\), то есть \(7 + 1 = 8\) чисел.
Ответ: 8 чисел.
Числа 7-й строки получаются из чисел 6-й строки 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1: крайние числа равны 1, а каждое из остальных — сумма двух чисел, стоящих над ним: \(1 + 6 = 7\);
\(6 + 15 = 21\);
\(15 + 20 = 35\);
\(20 + 15 = 35\);
\(15 + 6 = 21\);
\(6 + 1 = 7\). Значит, 7-я строка — 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. По свойству симметричности \(C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}\) строка одинаково читается слева направо и справа налево, поэтому восемь её чисел разбиваются на четыре пары равных: \(C_{7}^{0} = C_{7}^{7} = 1\), \(C_{7}^{1} = C_{7}^{6} = 7\), \(C_{7}^{2} = C_{7}^{5} = 21\), \(C_{7}^{3} = C_{7}^{4} = 35\). Разных чисел четыре: 1, 7, 21, 35.
Ответ: 4 разных числа: 1, 7, 21, 35.
Треугольник Паскаля записывают в виде равнобедренного треугольника: каждая строка стоит по центру, и середины всех строк лежат на вертикальной прямой, проходящей через верхнюю единицу. Числа \(C_{n}^{k}\) и \(C_{n}^{n - k}\) стоят в \(n\)-й строке симметрично относительно её середины: первое — на \(k\)-м месте слева, второе — на \(k\)-м месте справа (места считаются с нуля). По свойству симметричности эти числа равны: \(C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}\). Значит, при отражении относительно этой прямой каждое число переходит в равное ему число и треугольник не меняется.
Ответ: да, ось симметрии — вертикальная прямая, проходящая через верхнюю вершину треугольника и середины всех строк.
Число \(C_{7}^{3}\) не крайнее в 7-й строке, поэтому по основному рекуррентному свойству оно равно сумме двух чисел 6-й строки, стоящих над ним: \[C_{7}^{3} = C_{6}^{2} + C_{6}^{3} = 15 + 20 = 35.\]
Ответ: \(C_{7}^{3} = C_{6}^{2} + C_{6}^{3}\), то есть \(35 = 15 + 20\).
