Страница 76 номер 235, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Представьте в виде суммы выражение: а) \(\left(2x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{4}\); б) \(\left(3x^{2} - \frac{2}{x^{2}}\right)^{3}\).
В разложении разности \((a - b)^{n}\) по формуле бинома Ньютона минус стоит перед теми слагаемыми, где \(b\) в нечётной степени.
а) По формуле бинома Ньютона: \[\begin{aligned} &\left(2x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{4} = C_{4}^{4}(2x^{2})^{4} + C_{4}^{3}(2x^{2})^{3} \cdot \frac{1}{x} + {} \\ &+ C_{4}^{2}(2x^{2})^{2} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^{2} + C_{4}^{1} \cdot 2x^{2} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^{3} + C_{4}^{0}\left(\frac{1}{x}\right)^{4} = {} \\ &= 16x^{8} + \frac{4 \cdot 8x^{6}}{x} + \frac{6 \cdot 4x^{4}}{x^{2}} + \frac{4 \cdot 2x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}} = {} \\ &= 16x^{8} + 32x^{5} + 24x^{2} + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{4}}. \end{aligned}\]
б) По формуле бинома Ньютона: \[\begin{aligned} &\left(3x^{2} - \frac{2}{x^{2}}\right)^{3} = C_{3}^{3}(3x^{2})^{3} - C_{3}^{2}(3x^{2})^{2} \cdot \frac{2}{x^{2}} + {} \\ &+ C_{3}^{1} \cdot 3x^{2} \cdot \left(\frac{2}{x^{2}}\right)^{2} - C_{3}^{0}\left(\frac{2}{x^{2}}\right)^{3} = {} \\ &= 27x^{6} - \frac{3 \cdot 9x^{4} \cdot 2}{x^{2}} + \frac{3 \cdot 3x^{2} \cdot 4}{x^{4}} - \frac{8}{x^{6}} = {} \\ &= 27x^{6} - 54x^{2} + \frac{36}{x^{2}} - \frac{8}{x^{6}}. \end{aligned}\]
Если первое слагаемое — \(3x\), то \[\left(3x - \frac{2}{x^{2}}\right)^{3} = 27x^{3} - 54 + \frac{36}{x^{3}} - \frac{8}{x^{6}}.\]
Ответ: а) \(16x^{8} + 32x^{5} + 24x^{2} + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{4}}\); б) \(27x^{6} - 54x^{2} + \frac{36}{x^{2}} - \frac{8}{x^{6}}\); если первое слагаемое \(3x\), то \(27x^{3} - 54 + \frac{36}{x^{3}} - \frac{8}{x^{6}}\).
Представьте в виде суммы выражение: а) \(\left(2x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{4}\); б) \(\left(3x^{2} - \frac{2}{x^{2}}\right)^{3}\).
В разложении разности \((a - b)^{n}\) по формуле бинома Ньютона минус стоит перед теми слагаемыми, где \(b\) в нечётной степени. Коэффициенты — числа строк треугольника Паскаля: 4-я строка — 1, 4, 6, 4, 1; 3-я строка — 1, 3, 3, 1.
а) По формуле бинома Ньютона: \[\begin{aligned} &\left(2x^{2} + \frac{1}{x}\right)^{4} = C_{4}^{4}(2x^{2})^{4} + C_{4}^{3}(2x^{2})^{3} \cdot \frac{1}{x} + {} \\ &+ C_{4}^{2}(2x^{2})^{2} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^{2} + C_{4}^{1} \cdot 2x^{2} \cdot \left(\frac{1}{x}\right)^{3} + C_{4}^{0}\left(\frac{1}{x}\right)^{4} = {} \\ &= 16x^{8} + \frac{4 \cdot 8x^{6}}{x} + \frac{6 \cdot 4x^{4}}{x^{2}} + \frac{4 \cdot 2x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}} = {} \\ &= 16x^{8} + 32x^{5} + 24x^{2} + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{4}}. \end{aligned}\]
б) По формуле бинома Ньютона: \[\begin{aligned} &\left(3x^{2} - \frac{2}{x^{2}}\right)^{3} = C_{3}^{3}(3x^{2})^{3} - C_{3}^{2}(3x^{2})^{2} \cdot \frac{2}{x^{2}} + {} \\ &+ C_{3}^{1} \cdot 3x^{2} \cdot \left(\frac{2}{x^{2}}\right)^{2} - C_{3}^{0}\left(\frac{2}{x^{2}}\right)^{3} = {} \\ &= 27x^{6} - \frac{3 \cdot 9x^{4} \cdot 2}{x^{2}} + \frac{3 \cdot 3x^{2} \cdot 4}{x^{4}} - \frac{8}{x^{6}} = {} \\ &= 27x^{6} - 54x^{2} + \frac{36}{x^{2}} - \frac{8}{x^{6}}. \end{aligned}\]
Если первое слагаемое — \(3x\), то \[\left(3x - \frac{2}{x^{2}}\right)^{3} = 27x^{3} - 54 + \frac{36}{x^{3}} - \frac{8}{x^{6}}.\]
Ответ: а) \(16x^{8} + 32x^{5} + 24x^{2} + \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{4}}\); б) \(27x^{6} - 54x^{2} + \frac{36}{x^{2}} - \frac{8}{x^{6}}\); если первое слагаемое \(3x\), то \(27x^{3} - 54 + \frac{36}{x^{3}} - \frac{8}{x^{6}}\).
