Страница 83 номер 256, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Из отрезка \([0; 1]\) случайным образом выбирается число \(x\). Найдите вероятность того, что: а) \(2x < 0{,}5\); б) \(2x - 1 \le 0{,}4\); в) \(0{,}4 \le 2x \le 0{,}6\); г) \(3x \le 0{,}3\) или \(3x \ge 0{,}9\).
Число \(x\) выбирается из отрезка \([0; 1]\) случайным образом, поэтому вероятность того, что оно попадёт в отрезок \([a; b]\), содержащийся в отрезке \([0; 1]\), равна \({P(a \leqslant x \leqslant b)} = \frac{b - a}{1 - 0}\). Строгий знак неравенства вероятности не меняет, так как вероятность выбрать конкретную точку равна нулю.
а) Решим неравенство: \[\begin{aligned} 2x &< 0{,}5; \qquad | : 2 \\ x &< 0{,}25. \end{aligned}\] Значит, \({P(2x < 0{,}5)} = {P(0 \leqslant x \leqslant 0{,}25)} = \frac{0{,}25 - 0}{1 - 0} = 0{,}25\).
б) Решим неравенство: \[\begin{aligned} 2x - 1 &\leqslant 0{,}4; \qquad | +1 \\ 2x &\leqslant 1{,}4; \qquad | : 2 \\ x &\leqslant 0{,}7. \end{aligned}\] Значит, \({P(2x - 1 \leqslant 0{,}4)} = {P(0 \leqslant x \leqslant 0{,}7)} = \frac{0{,}7 - 0}{1 - 0} = 0{,}7\).
в) Решим двойное неравенство: \[\begin{aligned} 0{,}4 &\leqslant 2x \leqslant 0{,}6; \qquad | : 2 \\ 0{,}2 &\leqslant x \leqslant 0{,}3. \end{aligned}\] Значит, \({P(0{,}4 \leqslant 2x \leqslant 0{,}6)} = {P(0{,}2 \leqslant x \leqslant 0{,}3)} = \frac{0{,}3 - 0{,}2}{1 - 0} = 0{,}1\).
г) Решим оба неравенства: \[\begin{aligned} 3x &\leqslant 0{,}3; \qquad | : 3 \\ x &\leqslant 0{,}1; \\ 3x &\geqslant 0{,}9; \qquad | : 3 \\ x &\geqslant 0{,}3. \end{aligned}\] События \(0 \leqslant x \leqslant 0{,}1\) и \(0{,}3 \leqslant x \leqslant 1\) несовместны, поэтому вероятность того, что наступит одно из них, равна сумме их вероятностей: \({P(0 \leqslant x \leqslant 0{,}1)} + {P(0{,}3 \leqslant x \leqslant 1)} = 0{,}1 + 0{,}7 = 0{,}8\).
Ответ: а) 0,25; б) 0,7; в) 0,1; г) 0,8.
Из отрезка \([0; 1]\) случайным образом выбирается число \(x\). Найдите вероятность того, что: а) \(2x < 0{,}5\); б) \(2x - 1 \le 0{,}4\); в) \(0{,}4 \le 2x \le 0{,}6\); г) \(3x \le 0{,}3\) или \(3x \ge 0{,}9\).
Выбор числа \(x\) из отрезка \([0; 1]\) — это выбор точки с координатой \(x\) из отрезка \([0; 1]\) числовой прямой; все точки отрезка имеют равные шансы. Поэтому вероятность того, что число \(x\) попадёт в отрезок \([a; b]\), содержащийся в отрезке \([0; 1]\), равна \({P(a \leqslant x \leqslant b)} = \frac{b - a}{1 - 0}\). Строгий знак неравенства вероятности не меняет, так как вероятность выбрать конкретную точку равна нулю.
а) Решим неравенство: \[\begin{aligned} 2x &< 0{,}5; \qquad | : 2 \\ x &< 0{,}25. \end{aligned}\] Значит, \({P(2x < 0{,}5)} = {P(0 \leqslant x \leqslant 0{,}25)} = \frac{0{,}25 - 0}{1 - 0} = 0{,}25\).
б) Решим неравенство: \[\begin{aligned} 2x - 1 &\leqslant 0{,}4; \qquad | +1 \\ 2x &\leqslant 1{,}4; \qquad | : 2 \\ x &\leqslant 0{,}7. \end{aligned}\] Значит, \({P(2x - 1 \leqslant 0{,}4)} = {P(0 \leqslant x \leqslant 0{,}7)} = \frac{0{,}7 - 0}{1 - 0} = 0{,}7\).
в) Решим двойное неравенство: \[\begin{aligned} 0{,}4 &\leqslant 2x \leqslant 0{,}6; \qquad | : 2 \\ 0{,}2 &\leqslant x \leqslant 0{,}3. \end{aligned}\] Значит, \({P(0{,}4 \leqslant 2x \leqslant 0{,}6)} = {P(0{,}2 \leqslant x \leqslant 0{,}3)} = \frac{0{,}3 - 0{,}2}{1 - 0} = 0{,}1\).
г) Решим оба неравенства: \[\begin{aligned} 3x &\leqslant 0{,}3; \qquad | : 3 \\ x &\leqslant 0{,}1; \\ 3x &\geqslant 0{,}9; \qquad | : 3 \\ x &\geqslant 0{,}3. \end{aligned}\] События \(0 \leqslant x \leqslant 0{,}1\) и \(0{,}3 \leqslant x \leqslant 1\) несовместны, поэтому вероятность того, что наступит одно из них, равна сумме их вероятностей: \({P(0 \leqslant x \leqslant 0{,}1)} + {P(0{,}3 \leqslant x \leqslant 1)} = 0{,}1 + 0{,}7 = 0{,}8\).
Ответ: а) 0,25; б) 0,7; в) 0,1; г) 0,8.
