Страница 86 номер 262, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Из отрезка \([0; 1]\) случайным образом независимо друг от друга выбираются два числа \(x\) и \(y\). Найдите вероятность того, что: а) \(y > 2x\); б) \(x < y < 3x\); в) \(\frac{1}{2} < x < y\); г) \(x + y < \frac{1}{3}\).
Числа \(x\) и \(y\) выбираются из отрезка \([0; 1]\) случайным образом и независимо друг от друга, поэтому точка \((x; y)\) — случайная точка квадрата \(F\), который задаётся условиями \(0 \leqslant x \leqslant 1\) и \(0 \leqslant y \leqslant 1\);
\(S_{F} = 1\). Каждому событию отвечает фигура \(G\) внутри квадрата, \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}}\). Площадь отрезка прямой равна нулю, поэтому строгий знак неравенства вероятности не меняет.
а) Неравенство \(y > 2x\) задаёт часть квадрата выше прямой \(y = 2x\), которая проходит через точки \((0; 0)\) и \(\left(\frac{1}{2}; 1\right)\), поэтому фигура \(G\) — прямоугольный треугольник с вершинами \((0; 0)\), \((0; 1)\), \(\left(\frac{1}{2}; 1\right)\) и катетами 1 и \(\frac{1}{2}\).
\(S_{G} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\), поэтому \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{1}{4} = 0{,}25\).
б) Двойное неравенство \(x < y < 3x\) задаёт часть квадрата между прямыми \(y = x\) и \(y = 3x\). Прямая \(y = 3x\) пересекает верхнюю сторону квадрата в точке \(\left(\frac{1}{3}; 1\right)\), а прямая \(y = x\) проходит через вершину \((1; 1)\), поэтому фигура \(G\) — треугольник с вершинами \((0; 0)\), \(\left(\frac{1}{3}; 1\right)\), \((1; 1)\).
\(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) — сторона треугольника на верхней стороне квадрата, высота к ней равна 1.
\(S_{G} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}\), поэтому \(P(G) = \frac{1}{3}\).
в) Условие \(\frac{1}{2} < x < y\) задаёт часть квадрата правее прямой \(x = \frac{1}{2}\) и выше прямой \(y = x\): прямоугольный треугольник \(G\) с вершинами \(\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{2}; 1\right)\), \((1; 1)\) и катетами \(\frac{1}{2}\).
\(S_{G} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\), поэтому \(P(G) = \frac{1}{8}\).
г) Неравенство \(x + y < \frac{1}{3}\), то есть \(y < \frac{1}{3} - x\), задаёт часть квадрата ниже прямой \(y = \frac{1}{3} - x\): прямоугольный треугольник \(G\) с вершинами \((0; 0)\), \(\left(\frac{1}{3}; 0\right)\), \(\left(0; \frac{1}{3}\right)\) и катетами \(\frac{1}{3}\).
\(S_{G} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18}\), поэтому \(P(G) = \frac{1}{18}\).
Ответ: а) 0,25; б) \(\frac{1}{3}\); в) \(\frac{1}{8}\); г) \(\frac{1}{18}\).
Из отрезка \([0; 1]\) случайным образом независимо друг от друга выбираются два числа \(x\) и \(y\). Найдите вероятность того, что: а) \(y > 2x\); б) \(x < y < 3x\); в) \(\frac{1}{2} < x < y\); г) \(x + y < \frac{1}{3}\).
Числа \(x\) и \(y\) выбираются из отрезка \([0; 1]\) случайным образом и независимо друг от друга, поэтому точка \((x; y)\) — случайная точка квадрата \(F\), который задаётся условиями \(0 \leqslant x \leqslant 1\) и \(0 \leqslant y \leqslant 1\);
\(S_{F} = 1\). Каждому событию отвечает фигура \(G\) внутри квадрата, и \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}}\). Площадь отрезка прямой равна нулю, поэтому строгий знак неравенства вероятности не меняет.
а) Неравенство \(y > 2x\) задаёт часть квадрата выше прямой \(y = 2x\). Эта прямая проходит через точки \((0; 0)\) и \(\left(\frac{1}{2}; 1\right)\), поэтому фигура \(G\) — прямоугольный треугольник с вершинами \((0; 0)\), \((0; 1)\), \(\left(\frac{1}{2}; 1\right)\) и катетами 1 и \(\frac{1}{2}\). Его площадь \(S_{G} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\), поэтому \(P(G) = \frac{S_{G}}{S_{F}} = \frac{1}{4} = 0{,}25\).
б) Двойное неравенство \(x < y < 3x\) задаёт часть квадрата между прямыми \(y = x\) и \(y = 3x\). Прямая \(y = 3x\) пересекает верхнюю сторону квадрата в точке \(\left(\frac{1}{3}; 1\right)\), а прямая \(y = x\) проходит через вершину \((1; 1)\), поэтому фигура \(G\) — треугольник с вершинами \((0; 0)\), \(\left(\frac{1}{3}; 1\right)\), \((1; 1)\). Сторона треугольника на верхней стороне квадрата равна \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\), высота к ней равна 1, поэтому \(S_{G} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}\) и \(P(G) = \frac{1}{3}\). Тот же результат получится, если из площади квадрата вычесть площади прямоугольных треугольников под прямой \(y = x\) и над прямой \(y = 3x\): \(1 - \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot 1 = 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\).
в) Условие \(\frac{1}{2} < x < y\) задаёт часть квадрата правее прямой \(x = \frac{1}{2}\) и выше прямой \(y = x\): прямоугольный треугольник \(G\) с вершинами \(\left(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)\), \(\left(\frac{1}{2}; 1\right)\), \((1; 1)\) и катетами \(\frac{1}{2}\). Его площадь \(S_{G} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\), поэтому \(P(G) = \frac{1}{8}\).
г) Неравенство \(x + y < \frac{1}{3}\), то есть \(y < \frac{1}{3} - x\), задаёт часть квадрата ниже прямой \(y = \frac{1}{3} - x\): прямоугольный треугольник \(G\) с вершинами \((0; 0)\), \(\left(\frac{1}{3}; 0\right)\), \(\left(0; \frac{1}{3}\right)\) и катетами \(\frac{1}{3}\). Его площадь \(S_{G} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{18}\), поэтому \(P(G) = \frac{1}{18}\).
Ответ: а) 0,25; б) \(\frac{1}{3}\); в) \(\frac{1}{8}\); г) \(\frac{1}{18}\).
