Страница 70 номер 220, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень

Будем считать, что покупатель выбирает детали наугад, так что все наборы из 5 деталей равновозможны; порядок деталей в наборе не важен. Число таких наборов \[N = C_{15}^{5} = \frac{15!}{5! \cdot 10!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 3003.\] Годных деталей в партии \(15 - 3 = 12\).

а) Событию \(A\) «нет ни одной бракованной детали» благоприятствуют наборы из 5 годных деталей: \[N(A) = C_{12}^{5} = \frac{12!}{5! \cdot 7!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = 792.\] Следовательно, \(P(A) = \frac{N(A)}{N} = \frac{792}{3003} = \frac{24}{91} \approx 0{,}264\).

б) Событие «есть хотя бы одна бракованная деталь» противоположно событию \(A\), поэтому \[P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{24}{91} = \frac{67}{91} \approx 0{,}736.\]

в) Событию \(B\) «ровно 2 бракованные детали» благоприятствуют наборы из 2 бракованных и 3 годных деталей. Две бракованные детали из трёх можно выбрать \(C_{3}^{2}\) способами, три годные из двенадцати — \(C_{12}^{3}\) способами; по комбинаторному правилу умножения \[N(B) = C_{3}^{2} \cdot C_{12}^{3} = 3 \cdot \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 3 \cdot 220 = 660.\] Следовательно, \(P(B) = \frac{N(B)}{N} = \frac{660}{3003} = \frac{20}{91} \approx 0{,}220\).

г) Событию \(D\) «ровно 3 бракованные детали» благоприятствуют наборы из всех 3 бракованных и 2 годных деталей. Три бракованные детали из трёх можно выбрать \(C_{3}^{3}\) способами, две годные из двенадцати — \(C_{12}^{2}\) способами; по комбинаторному правилу умножения \[N(D) = C_{3}^{3} \cdot C_{12}^{2} = 1 \cdot \frac{12 \cdot 11}{1 \cdot 2} = 66.\] Следовательно, \(P(D) = \frac{N(D)}{N} = \frac{66}{3003} = \frac{2}{91} \approx 0{,}022\).

Ответ: а) \(\approx 0{,}264\); б) \(\approx 0{,}736\); в) \(\approx 0{,}220\); г) \(\approx 0{,}022\).