Страница 76 номер 239, ГДЗ по математике за 7, 8 и 9 класс к учебнику Высоцкого 2 часть. Углубленный уровень
Докажите свойство 4: знакочередующаяся сумма чисел в \(n\)-й строке треугольника Паскаля равна 0.
В 0-й строке одно число 1, поэтому речь идёт о строках с номером \(n \geqslant 1\).
Запишем формулу бинома Ньютона для разности \((a - b)^{n}\) при \(a = b = 1\): знаки перед слагаемыми чередуются, поэтому \[\begin{aligned} &C_{n}^{n} - C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} - \ldots \pm C_{n}^{2} \mp C_{n}^{1} \pm C_{n}^{0} = {} \\ &= (1 - 1)^{n} = 0^{n} = 0. \end{aligned}\]
Последнее равенство \(0^{n} = 0\) верно при \(n \geqslant 1\). Слева стоят все числа \(n\)-й строки треугольника Паскаля с чередующимися знаками. По свойству симметричности \(C_{n}^{n} = C_{n}^{0}\), \(C_{n}^{n - 1} = C_{n}^{1}\), \(C_{n}^{n - 2} = C_{n}^{2}\) и так далее, поэтому это та же сумма \(C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - \ldots\), что получается при чтении строки слева направо.
Ответ: при \(n \geqslant 1\) знакочередующаяся сумма чисел \(n\)-й строки треугольника Паскаля равна \((1 - 1)^{n}\), то есть 0.
Докажите свойство 4: знакочередующаяся сумма чисел в \(n\)-й строке треугольника Паскаля равна 0.
В 0-й строке одно число 1, поэтому речь идёт о строках с номером \(n \geqslant 1\).
Знакочередующаяся сумма — это сумма чисел строки, взятых поочерёдно со знаками «+» и «−». Запишем формулу бинома Ньютона для разности \((a - b)^{n}\) при \(a = b = 1\): знаки перед слагаемыми чередуются, поэтому \[\begin{aligned} &C_{n}^{n} - C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n - 2} - \ldots \pm C_{n}^{2} \mp C_{n}^{1} \pm C_{n}^{0} = {} \\ &= (1 - 1)^{n} = 0^{n} = 0. \end{aligned}\]
Последнее равенство \(0^{n} = 0\) верно при \(n \geqslant 1\). Слева стоят все числа \(n\)-й строки треугольника Паскаля с чередующимися знаками. По свойству симметричности \(C_{n}^{n} = C_{n}^{0}\), \(C_{n}^{n - 1} = C_{n}^{1}\), \(C_{n}^{n - 2} = C_{n}^{2}\) и так далее, поэтому это та же сумма \(C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - \ldots\), что получается при чтении строки слева направо.
Ответ: при \(n \geqslant 1\) знакочередующаяся сумма чисел \(n\)-й строки треугольника Паскаля равна \((1 - 1)^{n}\), то есть 0.
